[論文レビュー] Loop Spaces and Langlands Parameters

Dani Ben‐Zvi, David Nadler|ArXiv.org|Jun 3, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 48被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、滑らかなスタック $X$ 上の $\omega$-加群の圏が、その導来ループ空間 $\mathcal{L}X$ 上の $S^1$-等配 coherent sheaf の圏の局在化として同定されることを確立する、$S^1$-等配局在化定理のカテゴリフィケーションを提示する。これにより、ループ空間幾何学を介して幾何的表現論の圏が統一され、実および複素再帰的群の Langlands パrameter が一様に構成可能となる。

ABSTRACT

We apply the technique of S^1-equivariant localization to sheaves on loop spaces in derived algebraic geometry, and obtain a fundamental link between two families of categories at the heart of geometric representation theory. Namely, we categorify the well known relationship between free loop spaces, cyclic homology and de Rham cohomology to recover the category of D-modules on a smooth stack X as a localization of the category of S^1-equivariant coherent sheaves on its loop space LX. The main observation is that this procedure connects categories of equivariant D-modules on flag varieties with categories of equivariant coherent sheaves on the Steinberg variety and its relatives. This provides a direct connection between the geometry of finite and affine Hecke algebras and braid groups, and a uniform geometric construction of all of the categorical parameters for representations of real and complex reductive groups. This paper forms the first step in a project to apply the geometric Langlands program to the complex and real local Langlands programs, which we describe.

研究の動機と目的

• 導来ループ空間 $\mathcal{L}X$ 上の $S^1$-等配 coherent sheaf の圏と滑らかなスタック $X$ 上の $\mathcal{D}$-加群の圏のカテゴリカル同型を確立し、古典的局在化を一般化する。
• ループ空間幾何学を用いて旗多様体上の等配 $\mathcal{D}$-加群の圏と Steinberg 多様体上の等配 coherent sheaf の圏を統一する。
• 実および複素再帰的群の Langlands パrameter を構成するための幾何的、導来代数的枠組みを提供する。
• ループ空間および導来スタック技法を用いて、幾何的 Langlands プログラムを実および複素局所 Langlands 対応に拡張する。
• シュプリンガー解体および Steinberg 多様体が、それぞれ商スタック $G\backslash\mathcal{B}$ および $B\backslash\mathcal{B}$ の導来ループ空間として生じることを示す。

提案手法

• 導来代数的幾何学における $S^1$-等配局在化を適用し、$\mathcal{L}X$ 上の $S^1$-等配 coherent sheaf の圏と $X$ 上の $\mathcal{D}$-加群の圏を関連付ける。
• 導来スタックおよび単体的可換環の形式的枠組みを用いて、導来ループ空間およびその層の圏を定義する。
• Steinberg 多様体およびその類縁対象を、それぞれ商スタック $G\backslash\mathcal{B}$ および $B\backslash\mathcal{B}$ の導来ループ空間として同定する。
• 対称部分群 $K$ に対して、$K\backslash\mathcal{B}$ のループ空間として Langlands パrameter 空間を導入し、旗多様体のループ空間構成を一般化する。
• quasicoherent sheaf および Koszul duality を用いて、ループ空間上の周期的層と $S^1$-等配性を介した $\mathcal{D}$-加群を関連付ける。
• 特徴が零の導来代数的空間と連結的微分付き可換代数の同倣を用いて、計算を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなスタック上の $\mathcal{D}$-加群とそのループ空間上の層との関係を、$S^1$-等配局在化をカテゴリフィケーションすることでどのように確立できるか？
• RQ2 幾何的表現論において、Steinberg 多様体と商スタックの導来ループ空間の間の正確な幾何的関係は何か？
• RQ3 対称部分群の商 $K\backslash\mathcal{B}$ のループ空間は、実再帰的群の Langlands パrameter とどのように関係するか？
• RQ4 導来ループ空間構成を用いて、幾何的 Langlands プログラムを実および複素局所 Langlands 対応に拡張できるか？
• RQ5 導来代数的幾何学は、有限およびアフィンヘッケ代数を介して、$\mathcal{D}$-加群の圏と等配 coherent sheaf の圏を統一する役割を果たすか？

主な発見

• 滑らかなスタック $X$ 上の $\mathcal{D}$-加群の圏は、その導来ループ空間 $\mathcal{L}X$ 上の $S^1$-等配 coherent sheaf の圏の局在化として、自然に同型である。
• 再帰的群 $G$ の Steinberg 多様体は、商スタック $B\backslash\mathcal{B}$ の導来ループ空間として同定され、ここで $\mathcal{B} = G/B$ は旗多様体である。
• シュプリンガー解体は、商スタック $G\backslash\mathcal{B}$ の導来ループ空間として現れ、$\mathcal{D}$-加群の圏がループ空間層を通じて幾何的に実現される。
• 実形式 $G_{\mathbb{R}}$ の Langlands パrameter 空間は、$K \subset G$ を対称部分群として、$K\backslash\mathcal{B}$ の導来ループ空間として構成される。
• この構成により、複素および実再帰的群のすべてのカテゴリカル Langlands パrameter が、ループ空間幾何学を通じて一様に幾何的に実現される。
• この方法は、自由ループ空間、循環ホモロジー、de Rham コホホロジーの古典的関係をカテゴリカルに一般化し、導来圏の同値性へと高める。