[論文レビュー] Singular rationally connected surfaces with non-zero pluri-forms

Wenhao Ou|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異的かつ有理的連結な表面が非自明な反射的多様体形式を持つ場合、それが有理的ルールド表面を適切な数の blow-ups と blow-downs を経て得られることを示す。主な結果として、m-多様体形式の空間が O_{P^1}(-2m + ⌊m/2⌋r) の正則切断と同型であることを証明し、非自明な多様体形式の存在は、P^1 上の多重ファイバーの数 r ≥ 4 にのみ依存することを示している。

ABSTRACT

This paper is concerned with projective rationally connected surfaces $X$ with canonical singularities and having non-zero pluri-forms, i.e. $(Ω_X^1)^{[\otimes m]}$ has non-zero global sections for some m > 0, where $(Ω_X^1)^{[\otimes m]}$ is the reflexive hull of $(Ω_X^1)^{\otimes m}$. We show that any such surface can be obtained from a rational ruled surface by a very explicit sequence of blow-ups and blow-downs. Moreover, we interpret the existence of non-zero pluri-forms in terms of semistable reduction.

研究の動機と目的

• 正則特異点をもつ射影的有理的連結な表面で、非自明な反射的多様体形式をもつものについて分類すること。
• GKP12 で提起された、非因子的の場合におけるこのような形式の存在に関する問題を解決すること。
• このようなすべての表面が、有理的ルールド表面に対する特定の構成（ブローアップとブローダウンの系列）によって得られることを示すこと。
• 半安定還元とガロア被覆を用いて、非自明な多様体形式の存在を幾何学的に解釈すること。

提案手法

• P^1 上の4つ以上の異なる点の上での点へのブローアップ、その後に (-2)-曲線のブローダウンを含む、系列的な双有理変換により表面を構成する。
• 最小モデルプログラム（MMP）を用いて、P^1 上の r ≥ 4 個の点で非還元ファイバーを持つモーリー・ファイバー空間 X_f → P^1 を得る。
• ガロア被覆 γ: E → P^1 を用いて多重ファイバーを解消し、X 上の多様体形式と E 上の切断を関係づける半安定還元を適用する。
• 射影公式と G-不変層体理論を用いて、H^0(X, (Ω_X^1)^{[⊗m]}) を H^0(P^1, O(-2m + ⌊m/2⌋r)) として計算する。
• X 上の反射的多様体形式が、被覆 E 上の (Ω_E^1)^{⊗m} の G-不変切断と同型であることを示す。
• 多様体形式の空間の次元が、r（多重ファイバーの数）のみに依存することを示し、その公式は dim H^0(P^1, O(-2m + ⌊m/2⌋r)) である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則特異点をもち、非自明な反射的多様体形式をもつ任意の有理的連結表面は、一様な双有理的プロセスによって有理的ルールド表面から得られるか？
• RQ2 このような表面における非自明な多様体形式の幾何的起源は何か？
• RQ3 モーリー・ファイバー空間構造における多重ファイバーの数は、多様体形式の空間の次元とどのように関係するか？
• RQ4 半安定還元を用いて、特異的かつ有理的連結な表面における非自明な多様体形式の存在を特徴づけられるか？
• RQ5 多様体形式の空間の次元は、他の幾何的データとは無関係に、多重ファイバーの数にのみ依存するか？

主な発見

• 正則特異点をもち、非自明な反射的多様体形式をもつ任意の射影的有理的連結表面は、構成 1.2 で明示的に与えられた方法により、滑らかな有理的ルールド表面から得られる。
• P^1 上のモーリー・ファイバー空間構造における多重ファイバーの数 r は、r ≥ 4 を満たす必要がある。
• m-多様体形式の空間は H^0(P^1, O(-2m + ⌊m/2⌋r)) と同型であり、その次元は m と r のみに依存する。
• r = 4 の場合、非自明な 2-多様体形式が存在する（次元 1）。しかし、奇数の m については多様体形式は存在しない。
• r = 5 の場合、h(2,5) = 2 かつ h(3,5) = 0 であるが、m ≥ 4 のすべての m に対して h(m,5) > 0 である。
• r ≥ 6 の場合、すべての m ≥ 2 に対して h(m,r) > 0 であり、多様体形式が豊富に存在することを示している。