[論文レビュー] Singular solutions of a fully nonlinear 2x2 system of conservation laws

Henrik Kalisch, Darko Mitrović|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全非線形2×2保存則系（Brio系）に対して、compressive δ-ショック解の存在および許容性を確立する。この系では、特定のリーマン問題に対して古典的Lax許容解が存在しない。複素数値補正を弱漸近法に導入することで、実数値δ-ショック解に収束する近似解を構成し、δ-分布が非線形に結合された変数uに関連する場合、任意の2×2保存則系がこのような特異解を有することを示している。

ABSTRACT

Existence and admissibility of $δ$-shock type solution is discussed for the following nonconvex strictly hyperbolic system arising in studues of plasmas: \pa_t u + \pa_x \big(\Sfrac{u^2+v^2}{2} \big) &=0 \pa_t v +\pa_x(v(u-1))&=0. The system is fully nonlinear, i.e. it is nonlinear with respect to both variables. The latter system does not admit the classical Lax-admissible solution to certain Riemann problems. By introducing complex valued corrections in the framework of the weak asymptotic method, we show that an compressive $δ$-shock type solution resolves such Riemann problems. By letting the approximation parameter to zero, the corrections become real valued and we obtain a $δ$-type solution concept. In the frame of that concept, we can show that every $2 imes 2$ system of conservation laws admits $δ$-type solution.

研究の動機と目的

• Brio系における特定のリーマン問題に対して古典的Lax許容解が存在しない問題を解決すること。
• 未知数の両方に関して非線形なフラックスを持つ完全非線形2×2系に対してδ-ショック解の存在を確立すること。
• 弱漸近法における複素数値補正を用いてδ-ショック解を構成できることを示すこと。
• この系においてδ-分布がvではなく変数uに自然に関連していること、従来の結果と対照的であること。

提案手法

• 弱漸近法を拡張し、近似解に複素数値補正を含める。
• 弱漸近解を分布の意味で定義するため、消える分布族を用いる。
• Brio系に適用：∂ₜu + ∂ₓ((u²+v²)/2) = 0, ∂ₜv + ∂ₓ(v(u−1)) = 0。
• 定義4.1におけるエントロピー条件を用いて許容性条件を課し、ショック速度が特徴値の間にあることを保証する。
• 近似パrameter ε→0 の極限において、実数値δ-ショック解に収束する複素数値近似の極限として解を構成する。
• [12]で定義された弱特異解の枠組みと整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Lax許容解が失敗する場合に、Brio系に対してδ-ショック解が存在しうるか？
• RQ2 この完全非線形系において、なぜδ-分布がvではなくuに自然に関連しているのか？
• RQ3 フラックスが両方の未知数に関して非線形である場合、弱漸近法を拡張して特異解を構成できるか？
• RQ4 このような系において、δ-ショック解を構成するために複素数値補正が本質的であるか？
• RQ5 この枠組みのもとで、任意の2×2保存則系に対してδ-ショック解が存在するか？

主な発見

• 古典的解が失敗する特定のリーマンデータに対して、Brio系に圧縮型δ-ショック解が存在する。
• 系の完全非線形構造のおかげで、δ-分布がvではなく変数uに自然に関連している。
• フラックスが両方の未知数に関して非線形である場合、弱漸近法における複素数値補正が解の構成に不可欠である。
• この方法により、近似パrameter ε→0 の極限で実数値δ-ショック解が得られる。
• 提案された枠組みのもとで、任意の2×2保存則系がδ-ショック解を有する。
• δ-ショック解の非一意性が観察されたが、そのような解を排除する物理的根拠は提示されていない。