[論文レビュー] Singularities of Mean Curvature Flow of Surfaces with Additional Forces

Ao Sun|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ℝ³内に滑らかに埋め込まれた曲面の平均曲率流れに追加の力が作用する場合——$L^\infty$ノルムで有界な力場と有限のエントロピーを満たす場合——、その爆発極限が滑らかに埋め込まれた自己収縮者に収束することを確立している。証明は、イルマネンの標準的平均曲率流れに対する正則性結果を拡張し、非単調な幾何的量を制御し、放物的スケーリング下で外部力の影響が消えることを示すことで、極限が自己収縮者方程式 $\vec{H} + \frac{x^\perp}{-2t} = 0$ を満たすことを保証する。この結果により、トポロジー的およびエントロピー的制約の下で、外部力が存在する場合でも特異点モデルの滑らかさが保証される。

ABSTRACT

In this paper we study the blow up sequence of mean curvature flow of surfaces in $\mathbb R^3$ with additional forces. We prove that the blow up limit of a mean curvature flow of smoothly embedded surfaces with additional forces with finite entropy is a smoothly embedded self-shrinker.

研究の動機と目的

• 平均曲率流れに追加の力を加えた場合の、1995年イルマネンの正則性結果を拡張すること。
• 有界な $L^\infty$ 外部力が作用する平均曲率流れの爆発極限が滑らかに埋め込まれた自己収縮者に収束することを確立すること。
• 追加の力が作用する場合、幾何的量（例：面積、曲率）がもはや単調でなくなるという課題に対処すること。
• 外部力の影響が爆発極限において無視可能になることを示し、極限曲面の滑らかさを保証すること。
• トポロジー的およびエントロピー的制約の下で、特異点モデルの正則性理論を力が作用する流れへ一般化すること。

提案手法

• 特異点 $(y,s)$ における解析のために、放物的スケーリング（爆発列）$M_t^{\lambda_i} := \lambda_i^{-1}(M_{s + \lambda_i^2 t} - y)$ を用いる。
• ホイスキーンの単調性公式とブレーケの弱フローフレームワークを適用し、自己相似弱フローフレームワークへの弱収束を確立する。
• シモンのグラフ分解定理を用いて局所的幾何を制御し、集中点を除く領域での正則性を証明する。
• アラルドの正則性定理を用いて、低面積および低曲率領域が $C^{\infty}$ 関数のグラフとして表されることを示し、滑らかさを示す。
• 最大値原理とコリングス・シルバーマン（1985年）の結果を用い、集中点を越えて滑らかさを拡張する。
• 比較補題（補題6.1）を用いて非単調な幾何的量を制御し、外部力の影響下での成長を抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 追加の力が作用する平均曲率流れの爆発極限は、有限エントロピーおよび有界力場の下でも滑らかに埋め込まれたまま保たれるか？
• RQ2 標準的平均曲率流れに対する正則性結果は、外部力が作用する場合に拡張可能か？
• RQ3 追加の力が、爆発過程における面積や曲率といった幾何的量の単調性にどのように影響するか？
• RQ4 外部力の影響が爆発極限で無視可能になるための条件は何か？
• RQ5 力が存在する場合に、自己収縮者方程式 $\vec{H} + \frac{x^\perp}{-2t} = 0$ が極限で保存されるか？

主な発見

• 追加の力が作用する平均曲率流れと有限エントロピーの下で、爆発極限は滑らかに埋め込まれた自己収縮者である。
• 爆発極限の台は、外部力が存在しても $t < 0$ に対して自己収縮者方程式 $\vec{H} + \frac{x^\perp}{-2t} = 0$ を満たす。
• 集中点の集合 $Q$ は離散的かつ孤立しており、$Q$ を除く領域では極限が滑らかに埋め込まれている。
• 有界な $L^\infty$ 力場の影響は爆発極限において無視可能になり、標準的正則性ツールの使用が可能になる。
• ガウス計量における最小曲面の議論を用いて、集中点を越えて滑らかさが拡張され、埋め込み性が保たれる。
• 力場が流れの占める領域内でのみ有界であれば十分であり、全域にわたる有界性は必要としない。