[論文レビュー] Singularities of pluri-theta divisors in Char $p>0$

Christopher D. Hacon|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正標数 p > 0 における principally polarized abelian varieties (PPAVs) における pluri-theta divisors が、任意の有理数 ε ∈ (0,1) および D ∈ |mΘ| に対して、対 (X, (1−ε)/m D) が strong F-regular であることを示すことにより、その特異点が穏やかであることを確立する。主な結果は、すべての x ∈ X に対して mult_x(D) ≤ m·dim X が成り立つことであり、これは特異点の性質を特徴づける古典的な特徴付けを、正標数における test ideals と generic vanishing を用いて特徴づける。

ABSTRACT

We show that if $(X,\Theta)$ is a PPAV over an algebraically closed field of characteristic $p>0$ and $D\in |m\Theta|$, then $(X,\frac 1 m D)$ is a limit of strongly $F$-regular pairs and in particular ${ m mult}_x(D)\leq m\cdot \dim X$ for any $x\in X$.

研究の動機と目的

• 特徴量 0 における pluri-theta divisors の既知の log-canonical 特異点を、正標数 p > 0 に拡張すること。
• 正標数 p > 0 における PPAV 上の対 (X, (1−ε)/m D) が strong F-regular であることを確立することにより、穏やかな特異点を示すこと。
• 任意の点 x における pluri-theta divisor D ∈ |mΘ| の重複度が mult_x(D) ≤ m·dim X を満たすことを証明すること。
• 特徴量 0 の手法（例： multiplier ideals や Kawamata-Viehweg の消失定理）を、正標数における test ideals と generic vanishing に置き換えること。

提案手法

• 正標数における strong F-regularity と sharp F-purity を定義するために、test ideals τ(X, Δ) と σ(X, Δ) を用いる。
• アーベル多様体上の Fourier-Mukai 変換を用いて、X 上の層とその双対 bX 上の層のコホモロジー的性質を関連付ける。
• [CH03]、[Hacon04]、[PP08] の generic vanishing 定理を用い、一般の x ∈ bX に対して H^0(σ(X, Δ) ⊗ O_X(Θ) ⊗ P_x^) ≠ 0 であることを示す。
• コホモロジーと基本変換を用いて、一般の x ∈ bX に対して評価写像 H^0(σ(X, Δ) ⊗ O_X(Θ) ⊗ P_x^) → k(x) が全射であることを導く。
• 一般の Θ の平行移動が σ(X, Δ) の共支持に沿って消えるならば、その共支持は空でなければならないことから、σ(X, Δ) = O_X であることを示す。
• Serre の消失定理と除法クラスの漸近的正性を用いて、H^i(O_X((1−p^{ne})(K_X+Δ) + (p^{ne}−t)Θ)) = 0 （i > 0 かつ十分大きな n）を示すことで、主張を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴量 0 における pluri-theta divisors の log-canonical 性質は、正標数 p > 0 に拡張可能か？
• RQ2 strong F-regularity を用いることで、正標数における pluri-theta divisors の特異点を制御できるか？
• RQ3 D ∈ |mΘ| に対して、重複度の上限 mult_x(D) ≤ m·dim X が正標数でも成り立ち、test ideals を用いて導出可能か？
• RQ4 F-特異点の文脈において、generic vanishing 結果は Kawamata-Viehweg の消失定理に置き換え可能か？
• RQ5 正標数における不可約 theta divisor は、特徴量 0 と同様に F-rational 特異点を持つだろうか？

主な発見

• 任意の有理数 ε ∈ (0,1) および D ∈ |mΘ| に対して、正標数 p > 0 における PPAV (X, Θ) 上で対 (X, (1−ε)/m D) は strong F-regular である。
• その結果、すべての log-不恰好が ≥0 であるため、(X, 1/m D) は log canonical である。
• 任意の点 x ∈ X における pluri-theta divisor の重複度は、mult_x(D) ≤ m·dim X を満たす。
• test ideal σ(X, (1−ε)/m D) の共支持は空であり、したがって σ(X, (1−ε)/m D) = O_X である。これは strong F-regularity を示唆する。
• 証明は generic vanishing とコホモロジー的消失定理に依拠しており、正標数における Kawamata-Viehweg の消失定理の失敗を補う。
• 条件として (1−ε)/m D の指数が p で割り切れないこと、およびすべての ε に対して極限を取ることで結論が拡張可能である。