[論文レビュー] Stable blow up dynamics for the 1-corotational energy critical harmonic heat flow

Pierre Raphaël, Rémi Schweyer|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 27被引用数 103

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^2$ から $\mathbb{R}^3$ 内の滑らかな回転表面への 1-回転対称なエネルギー臨界調和熱流の安定的かつ有限時間 blow-up 動的状態の存在を確立する。滑らかで局所化された初期データが基底状態の調和写像にエネルギー臨界トポロジーで任意に近い場合、エネルギーの集中を伴う普遍的なバブルを通じて特異性が発生することを証明する。blow-up 速度は [2] での予測と正確に一致し、重み付き関数空間枠組みにおける精密な動的分解とスペクトル解析により、鋭い漸近的性質が得られる。

ABSTRACT

We exhibit a stable finite time blow up regime for the 1-corotational energy critical harmonic heat flow from $\\Bbb R^2$ into a smooth compact revolution surface of $\\Bbb R^3$ which reduces to the semilinear parabolic problem $$\\partial_t u -\\pa^2_{r} u-\\frac{\\pa_r u}{r} + \\frac{f(u)}{r^2}=0$$ for a suitable class of functions $f$. The corresponding initial data can be chosen smooth, well localized and arbitrarily close to the ground state harmonic map in the energy critical topology. We give sharp asymptotics on the corresponding singularity formation which occurs through the concentration of a universal bubble of energy at the speed predicted in [Van den Bergh, J.; Hulshof, J.; King, J., Formal asymptotics of bubbling in the harmonic map heat flow, SIAM J. Appl. Math. vol 63, o5. pp 1682-1717]. Our approach lies in the continuation of the study of the 1-equivariant energy critical wave map and Schr\\"odinger map with $\\Bbb S^2$ target in [Rapha\\"el, P.; Rodnianksi, I., Stable blow up dynamics for the critical corotational wave maps and equivariant Yang Mills problems, to appear in Prep. Math. IHES.], [Merle, F.; Rapha\\"el, P.; Rodnianski, I., Blow up dynamics for smooth solutions to the energy critical Schr\\"odinger map, preprint 2011.].

研究の動機と目的

• 1-回転対称なエネルギー臨界調和熱流が $\mathbb{R}^2$ 上に安定的かつ有限時間 blow-up 解を有することを確立すること。
• 特に $k=1$ の回転対称性におけるエネルギー臨界設定下でのタイプ II blow-up の鋭い漸近的性質を解明すること。
• 初期データが滑らかで局所化されており、エネルギー臨界トポロジーで基底状態の調和写像に任意に近い場合でも blow-up を引き起こすことを示すこと。
• [2] で予測された普遍的な blow-up 速度を確認し、正確な対数補正を伴うこと。

提案手法

• 解の動的分解を用い、スケーリングされた調和写像プロファイルと残差項に分離し、blow-up 速度をスケール関数 $\lambda(t)$ でパrameter化する。
• 特異な重み（$y=0$ および $y=\infty$ で）を含む重み付き関数空間枠組みを構築し、臨界的挙動を捉える。
• 調和写像プロファイルの周囲での線形化作用素 $H$ のスペクトル解析を行い、対数補正を含む重み付き $L^2$ 空間における強制的推定を確立する。
• 補間およびハーディー型不等式を用いて、残差項およびスケール関数 $\lambda(t)$ の時間発展を制御するためのブートストラップ法を採用する。
• 波動およびシュレーディンガー写像（$\mathbb{S}^2$ をターゲットとする）に関する先行研究の技術を援用し、それを放物型設定に適応する。
• コンパクト性の議論と背理法を用いて、非自明な核成分を除外し、blow-up プロファイルの安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1-回転対称なエネルギー臨界調和熱流の放物的設定下で、安定的かつ有限時間 blow-up 動的状態を構築できるか。
• RQ2 blow-up 速度 $\lambda(t)$ の正確な漸近的挙動は何か？ これは [2] の予測と一致するか。
• RQ3 初期データを滑らかで局所化され、基底状態の調和写像にエネルギー臨界トポロジーで任意に近いように選べるか、それでも still blow-up を引き起こすか。
• RQ4 blow-up プロファイルは普遍的であり、あるエネルギー臨界クラス内の初期データに依存しないか。
• RQ5 blow-up 動的状態の安定性を保証するための残差項に関する鋭い重み付き推定は何か。

主な発見

• 滑らかで局所化され、エネルギー臨界トポロジーで基底状態の調和写像に任意に近い初期データを有する 1-回転対称なエネルギー臨界調和熱流に対して、安定的かつ有限時間 blow-up 解が構築された。
• blow-up は、普遍的なバブルにおけるエネルギーの集中を通じて発生し、blow-up 速度 $\lambda(t) \sim \frac{T-t}{|\log(T-t)|^2}$ が [2] の予測と一致する。
• blow-up 時刻近傍における解プロファイルの鋭い漸近的性質が得られ、blow-up 動的状態の普遍性が確認された。
• 対数補正を含む重み付き $L^2$ 空間における線形化作用素 $H$ の強制的推定が確立され、残差項の制御に不可欠である。
• 残差項 $\varepsilon$ は鋭い補間および点での有界性を満たし、$\|\varepsilon\|_{L^\infty} \lesssim \delta(\alpha^*)$ および $\|A\varepsilon\|_{L^\infty} \lesssim b^2|\log b|^2$ を満たし、安定性が保証された。
• コンパクト性と背理法を用いて、非自明な核成分を除外し、blow-up プロファイルの一意性および安定性を確認した。