[論文レビュー] Singularity formation to the 2D Cauchy problem of the full compressible Navier-Stokes equations with zero heat conduction

Xin Zhong|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、熱伝導がゼロである2次元初期値問題に対する完全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強い解について、爆発基準を確立する。初期密度と圧力が$L^\infty$ノルムで有界である限り、解の全域的存続を証明する。解析は、特異性を制御するためのラメ系に対する対数型推定と重み付きノルムに依存しており、初期密度がコンパクトな台を持つ場合や真空中を含む場合でも成立する。

ABSTRACT

The formation of singularity and breakdown of strong solutions to the two-dimensional (2D) Cauchy problem of the full compressible Navier-Stokes equations with zero heat conduction are considered. It is shown that for the initial density allowing vacuum, the strong solution exists globally if the density $ρ$ and the pressure $P$ satisfy $\|ρ\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}+\|P\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}

研究の動機と目的

• 熱伝導がゼロである2次元初期値問題に対する完全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強い解の特異性形成と爆発基準を調査すること。
• 真空中やコンパクトに台を持つ初期密度が存在する場合でも、強い解が有限時間内に爆発せず、全域的に正則のままである条件を同定すること。
• 特に熱伝導がゼロである状況下で、2次元における完全圧縮性系への既存の爆発基準を拡張すること。
• 密度と圧力の$L^\infty$ノルムが有界である限り、有限時間内に爆発しないように保証する一様な事前推定を確立すること。

提案手法

• 密度と圧力の真空中または空間無限遠近接での振る舞いを制御するため、$\bar{x}^a$ を含む重み付きノルムを用いた事前推定を導出する。
• 速度勾配の正則性を制御するため、ラメ系に対する対数型推定を適用する。
• エネルギー法と補間を用いて、速度勾配およびその高階微分に対する$L^q$および$L^2$推定を実施する。
• Gronwallの不等式を用い、$\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|P\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} < \infty$ の仮定の下で、事前推定を閉じる。
• $\|\nabla^2 \mathbf{u}\|_{L^2}$ および $\|\nabla^2 \mathbf{u}\|_{L^q}$ に対する一様なバウンディングを確立し、正則性を保証し、爆発を防ぐ。
• 背理法を用いる：$T^*$ で爆発すると仮定すると、一様なバウンディングにより解を $T^*$ を超えて拡張可能であり、これは最大性に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱伝導がゼロである2次元完全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強い解が、どのような条件下で全域的に正則のままであるか？
• RQ2 初期密度がコンパクトな台を持つ場合や真空中を含む場合でも、解の全域的存続を保証できるか？
• RQ3 ラメ系に対する対数型推定と重み付きノルムは、特異性の発生をどのように制御するか？
• RQ4 $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|P\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}$ の有界性が爆発を防ぐ役割を果たすメカニズムは何か？
• RQ5 提示された有界性条件のもとで、潜在的な爆発時刻 $T^*$ を超えて局所的な強い解を拡張することは可能か？

主な発見

• 熱伝導がゼロである2次元初期値問題に対する完全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強い解は、$\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|P\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} < \infty$ であれば、時間全域にわたり存在する。
• 初期密度がコンパクトな台を持つことや真空中を含んでもよいという条件が許容されており、非真空中仮定と比較して顕著な緩和である。
• $\|\nabla^2 \mathbf{u}\|_{L^2}$ および $\|\nabla^2 \mathbf{u}\|_{L^q}$ に対する一様な事前推定は、重み付き$L^r$推定とGronwallの不等式を用いて確立された。
• ラメ系に対する対数型推定は、速度勾配の増大を制御し、爆発を防ぐために不可欠である。
• $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|P\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}$ の有界性は、解が任意の有限時刻 $T^*$ を超えて拡張可能であることを示し、有限時間内に爆発するという仮定に矛盾する。
• 証明は背理法に依存しており、爆発が発生すると仮定した場合、一様なバウンディングにより解を拡張可能であるため、提示された条件下では爆発は起こりえない。