[論文レビュー] Six dimensional solvmanifolds with holomorphically trivial canonical bundle

Anna Fino, Antonio Otal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不変複素構造と正則的に自明な標準束を備えた6次元ソルブマンフォールドを分類し、非自明な閉 (3,0)-形式をもつすべての such リー代数を同定する。これらの多様体上にSKT、一般化ガウディュシュォン、バランス型、強ガウディュシュォン計量の存在を確立し、中心ファイバーで $\partial\bar{\partial}$-lemma とバランス型計量が成り立たないが、すべての非中心ファイバーで成り立つ holomorphic な複素多様体の族を構成する。

ABSTRACT

We determine the 6-dimensional solvmanifolds admitting an invariant complex structure with holomorphically trivial canonical bundle. Such complex structures are classified up to isomorphism, and the existence of strong Kähler with torsion (SKT), generalized Gauduchon, balanced and strongly Gauduchon metrics is studied. As an application we construct a holomorphic family $(M,J_a)$ of compact complex manifolds such that $(M,J_a)$ satisfies the $\partial\bar\partial$-Lemma and admits a balanced metric for any $a ot=0$, but the central limit neither satisfies the $\partial\bar\partial$-Lemma nor admits balanced metrics.

研究の動機と目的

• 6次元のユニモジュラー可解リーリング代数で、不変複素構造と正則的に自明な標準束を備えるものについて分類すること。
• そのようなソルブマンフォールドがSKT、一般化ガウディュシュォン、バランス型、強ガウディュシュォン計量をサポートするかどうかを特定すること。
• すべての非ゼロパラメータで $\partial\bar{\partial}$-lemma とバランス型計量が成り立つが、中心ファイバーでは成り立たない、コンパクト複素多様体の holomorphic な族を構成すること。

提案手法

• 安定形式の形式的記法を用い、[17, 9, 14, 15, 28] の技術を拡張して、非自明な閉 (3,0)-形式をもつユニモジュラー可解リーリング代数を分類する。
• 非ゼロの閉 (3,0)-形式の存在は、ほぼ複素構造の可積分性を意味するため、分類を $b_3 \geq 2$ を満たすリーリング代数に還元する。
• トルクスキー、ムバラクジヤノフ、シャバンスカヤによる6次元ユニモジュラー可解リーリング代数の分解不能および分解可能な分類を用いて、すべての候補を同定する。
• 文献[6]の結果を用いて、同定されたリーリング代数に対応する単連結リー群に格子が存在することを確認するが、$\mathfrak{g}_2^\alpha$ の特定の $\alpha$-値を除く。
• 同値関係による不変複素構造をすべて分類し、$\mathfrak{g}_3$ および $\mathfrak{g}_8$ を除き、有限個であることを示す。$\mathfrak{g}_3$ および $\mathfrak{g}_8$ は連続的な族を有する。
• 対応するリーリング代数およびその関連するソルブマンフォールド上で、曲率と形式条件の明示的計算を通じて特殊ヘルミート計量の存在を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの6次元ユニモジュラー可解リーリング代数が、非自明な閉 (3,0)-形式をもつ不変複素構造を備え、正則的に自明な標準束をもつのか？
• RQ2 そのようなソルブマンフォールドの中で、SKT、一般化ガウディュシュォン、バランス型、強ガウディュシュォン計量をもつものはどれか？
• RQ3 すべての非中心ファイバーで $\partial\bar{\partial}$-lemma とバランス型計量が成り立つが、中心ファイバーでは成り立たない、コンパクト複素多様体の holomorphic な族を構成できるか？
• RQ4 これらのソルブマンフォールド上の不変複素構造のモジュライ空間の構造は何か？また、それが有限か連続的かはいつか？
• RQ5 非可解体のソルブマンフォールドから、新しいコンパクトなSKTまたはバランス型多様体の例は得られるか？

主な発見

• 本稿は、正則的に自明な標準束をもつ不変複素構造をもつ6次元ユニモジュラー可解リーリング代数として、ちょうど9つの代数—$\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2^\alpha (\alpha \geq 0), \mathfrak{g}_3, \ldots, \mathfrak{g}_9$—が存在することを同定する。
• $\mathfrak{g}_4$ に対して、Kählerでない新しいコンパクトなSKT多様体の例を構成する。
• $\mathfrak{g}_6$ に対応するソルブマンフォールドは、SKTでない最初のガウディュシュォン計量を備え、この多様体にはSKT計量が存在しない。
• $\mathfrak{g}_4, \mathfrak{g}_5, \mathfrak{g}_6, \mathfrak{g}_7, \mathfrak{g}_8, \mathfrak{g}_9$ に対応するソルブマンフォールドはバランス型計量を備え、新しいコンパクトな例を提供する。
• $\mathfrak{g}_4, \mathfrak{g}_5, \mathfrak{g}_6, \mathfrak{g}_7, \mathfrak{g}_8, \mathfrak{g}_9$ に対応するソルブマンフォールドは、強ガウディュシュォン計量も備える。
• $(M, J_a)$ という holomorphic な族を構成し、$a \neq 0$ のとき $J_a$ は $\partial\bar{\partial}$-lemma を満たしバランス型計量をもつが、中心ファイバー $J_0$ は $\partial\bar{\partial}$-lemma を満たさず、いかなるバランス型計量ももたない。