[論文レビュー] Skew-monoidal reflection and lifting theorems

Stephen Lack, Ross Street|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Dayの反射定理を歪モナド圏へ拡張し、コモナドのEilenberg-Moore代数圏への歪モナド構造の持ち上げに関する条件を確立する。関手 $ L \dashv N $ が $ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ に対してある種の可逆性条件を満たすとき、$ \mathscr{A} $ は $ L $ が正規のオプモンイドナルで $ \psi_{X,NB} $ が可逆となるような一意的な歪モナド構造を備えることが示され、自然な条件下で歪ワーピングがコモナド余代数へ持ち上げられることも示している。

ABSTRACT

The Day Reflection Theorem gives conditions under which a reflective subcategory of a closed monoidal category can be equipped with a closed monoidal structure in such a way that the reflection adjunction becomes a monoidal adjunction. We adapt this result to skew monoidal categories. The beauty of this variant is further evidence that the direction choices involved in the skew notion are important for organizing, and adding depth to, certain mathematical phenomena. We also provide conditions under which a skew monoidal structure can be lifted to the category of Eilenberg-Moore algebras for a comonad.

研究の動機と目的

• 歪モナド圏の文脈において、Dayの反射定理を一般化すること。
• コモナドのEilenberg-Moore代数圏への歪モナド構造の持ち上げが可能となる条件を確立すること。
• 歪作用を含む一般化された歪ワーピングが、適切な条件下でコモナド余代数圏へ持ち上げられることを示すこと。
• イデムポテンスなコモナドの場合におけるコモナドによる持ち上げ結果と歪反射定理の関係を比較すること。
• 得られたコモナド余代数圏上の歪モナド構造が余極限を保存し、完全忠実関手を通じて因数分解されることを示すこと。

提案手法

• すべての $ X \in \mathscr{X} $, $ B \in \mathscr{A} $ に対して $ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ の可逆性に関する条件を導入することで、Dayの反射定理を歪モナド圏に適応する。
• 構造 $ A \bar{\otimes} B = L(NA \otimes NB) $ を用いて $ \mathscr{A} $ 上の歪モナド構造を構成し、$ \alpha, \lambda, \rho $ および随伴 $ L \dashv N $ を含む可換図式によって制約を定義する。
• 歪作用に関して定義された歪ワーピングの概念を導入し、以前の歪ワーピングに関する研究を一般化する。
• 歪作用圏上のコモナド $ G $ のEilenberg-Moore圏 $ \mathscr{A}^G $ を用いて、歪モナド構造の持ち上げを行う。
• 歪ワーピングとコモナド構造が整合的である条件の下で、忘却関手 $ U: \mathscr{A}^G \to \mathscr{A} $ がオプモンイドナルとなり、単位制約 $ \varepsilon_I: GI \to I $ を持つことを確立する。
• 具体的な例に応用し、$ \mathscr{C} $ が対象集合 $ O $ を持つ圏であり、$ \xi: U \to O $ による関数から誘導されるコモナド $ G = \xi_! \xi^* $ を考える。このとき、$ \mathrm{Set}/U $ 上の持ち上げられた構造が完全忠実関手 $ F: \mathscr{A} \to \mathscr{C} $ から生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射 $ L \dashv N $ と可逆な余単位を持つ場合、圏 $ \mathscr{X} $ 上の歪モナド構造が圏 $ \mathscr{A} $ へどのように持ち上げられるか。
• RQ2 歪作用圏上のコモナドのEilenberg-Moore圏への歪モナド構造の持ち上げは、どのように実現されるか。
• RQ3 歪作用を持つ圏上の歪ワーピングが、コモナド余代数圏へ持ち上げられるための条件は何か。
• RQ4 イデムポテンスなコモナドの場合、歪反射定理とコモナドによる歪モナド構造の持ち上げの関係は何か。
• RQ5 $ \mathscr{C} $ が対象集合 $ O $ を持つ圏で、$ \xi: U \to O $、$ G = \xi_! \xi^* $ であるとき、$ \mathrm{Set}/U $ に持ち上げられた歪モナド構造を持つ圏のカテゴリカル構造は何か。

主な発見

• すべての $ X \in \mathscr{X} $, $ B \in \mathscr{A} $ に対して $ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ が可逆であるとき、かつそのときに限り、$ L: \mathscr{X} \to \mathscr{A} $ が正規のオプモンイドナルで $ \psi_{X,NB} $ が可逆となるような $ \mathscr{A} $ 上の歪モナド構造が存在し、同型を除いて一意的である。
• 持ち上げられた歪モナド構造は $ A \bar{\otimes} B = L(NA \otimes NB) $ で与えられ、制約は $ \mathscr{X} $ の元の歪モナド構造と随伴を含む可換図式によって定義される。
• コモナド $ G $ が歪作用圏上にあり、歪ワーピングとコモナド構造が整合的である場合、忘却関手 $ U: \mathscr{A}^G \to \mathscr{A} $ はオプモンイドナルとなり、単位制約 $ \varepsilon_I: GI \to I $ を持つ。
• イデムポテンスなコモナド $ G $ の場合、コモナドによる持ち上げにより得られる $ \mathscr{C}^G $ 上の歪モナド構造は、歪反射定理から得られるものと一致し、両者のアプローチの整合性が示される。
• 例として $ \mathscr{C} $ が対象集合 $ O $ を持つ圏で、$ \xi: U \to O $、$ G = \xi_! \xi^* $ であるとき、$ \mathrm{Set}/U $ 上の持ち上げられた歪モナド構造は余極限を保存し、完全忠実関手 $ F: \mathscr{A} \to \mathscr{C} $ から生じる。ここで $ \mathscr{A} $ の対象集合は $ U $ である。