[論文レビュー] Skolem-Noether for nilpotent products

James B. Wilson|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、フィルター付き代数および群の文脈において、スコレム＝ノイザーの定理とモリタの定理を双線形写像（バイマップ）へ一般化する。スカラー環（$\mathcal{L}_*, \mathcal{M}_*, \mathcal{R}_*$）および中心（$\mathcal{C}_*$）を用いた枠組みを導入し、自己同型群および微分群の理解を可能にする。自己同型群の正確な列を確立し、特に冪零群や半単純な関連構造を持つ代数における群の同型性テストの計算複雑性を低減する応用を行う。

ABSTRACT

We consider the structure of groups and algebras that can be represented as automorphisms or derivations of distributive products -- which includes nonassociative rings, modules, forms, and commutation of groups and nonassociative loops. In many ways this is too broad to be possible, for instance even naive structure, such as inner automorphisms and derivations, are undefined for general bilinear maps. The appeal for working in this generality is broad applicability. We introduce fundamental structures and prove several results akin to ones in ring theory, including theorems of Morita and of Skolem-Noether type. Applications and examples are included.

研究の動機と目的

• フィルター付き代数および群から生じる双線形写像の文脈において、スコレム＝ノイザーおよびモリタの定理を拡張すること。
• 非自明な冪零根基を有する代数および群における自己同型群および微分群の構造を、関連するバイマップを分析することで明確化すること。
• スカラー環（$\\mathcal{L}_*, \\mathcal{M}_*, \\mathcal{R}_*$）および中心（$\\mathcal{C}_*$）を用いて、バイマップの自己同型群を導入・研究すること、特に冪零積の文脈において。
• これらの結果を、有限 $p$-群および代数の同型性テストの計算コストを低減するために応用すること。ここではテンソル積およびヴェルソル積を活用する。

提案手法

• 分配的およびスカラーの浸透性を有する $k$-バイマップの形式的枠組みを導入し、バイマップ構造を保つ三重の準同型（ホモトピー写像）を定義する。
• 左、中間、右スカラー（$\\mathcal{L}_*, \\mathcal{M}_*, \\mathcal{R}_*$）の三つの結合的単位的代数と、中心 $\\mathcal{C}_*$ を定義し、バイマップの対称性を分析するための中心的道具とする。
• バイマップの自己同型群の正確な列を確立し、$\operatorname{Aut}(*)$ を $\\mathcal{L}_*$、$\\mathcal{M}_*$、$\\mathcal{R}_*$ の乗法的群に関連付ける。これはスコレム＝ノイザーの定理を一般化する。
• 関連する可換リーダイアリス代数および商上の誘導バイマップを用いて、フィルター付き群および代数にこの枠組みを適用し、自己同型群を分析する。
• 精密なフィルターにおける $\\mathcal{L}_*$、$\\mathcal{M}_*$、$\\mathcal{R}_*$ の半単純性を用いて、構造的制御のためのモリタおよびスコレム＝ノイザー型の結果を適用する。
• バイマップのテンソル積およびヴェルソル積を用いて、冪零積をモデル化し、$\mathcal{T}_{1,m,1}(p^e)$ の商の同型性テストの計算コストを $O(p^{c(me)^2})$ から $O((me)^6 \log^2 p)$ に低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルター付き代数および群から生じる双線形写像へ、スコレム＝ノイザーおよびモリタの定理をどのように一般化できるか？
• RQ2 スカラー環 $\\mathcal{L}_*$、$\\mathcal{M}_*$、$\\mathcal{R}_*$ は、バイマップの自己同型群を決定づける構造的役割を果たすか？
• RQ3 冪零群または代数の自己同型群は、関連する可換リーマップおよびそれらの対称性を用いて記述可能か？
• RQ4 ジャコブソン根基を除去するために群または代数のフィルターを精緻化することで、関連バイマップおよびその自己同型群の構造はどのように改善されるか？
• RQ5 有限 $p$-群の同型性テストにおいて、バイマップのテンソル積およびヴェルソル積を用いる計算的影響は何か？

主な発見

• 本稿は、バイマップの自己同型群が左、中間、右スカラー環の乗法的群に関連する正確な列を証明し、スコレム＝ノイザーの定理を一般化する。
• 任意の有限鎖条件を満たす群に対して、関連可換リーダイアリス代数のスカラー環 $\\mathcal{L}_*$、$\\mathcal{M}_*$、$\\mathcal{R}_*$ が半単純となる特徴的なフィルターが存在する。
• $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Aut}(L(\phi))$ への自然な準同型の核は、フィルター部分群 $\Delta\phi$ によって記述され、その関連可換リーマップは $L(\phi)$ の微分代数に埋め込まれる。
• $\operatorname{Aut}(\otimes_{\mathcal{M}_*})$ およびヴェルソル積の使用により、$\mathcal{T}_{1,m,1}(p^e)$ の商の同型性テストのコストは $O(p^{c(me)^2})$ から $O((me)^6 \log^2 p)$ 操作に低減される。
• ジャコブソン根基を除去するようにフィルターを精緻化することで、すべての関連バイマップが半単純なスカラー環を持つことが保証され、モリタおよびスコレム＝ノイザーの定理の適用が可能になる。
• 非可換環、ループ、群の文脈において、関連可換リーマップ構造を付与することにより、この枠組みは一様に適用可能であり、最近のループ同型性に関する結果を一般化する。