[論文レビュー] $sl_2$ conformal block divisors and the nef cone of $\bar{M}_{0,n}$

David Swinarski|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、F曲線と多面体の空でない条件を用いた交差理論により、$ \mathfrak{sl}_2 $ conformal block除数が$ \overline{M}_{0,6} $の全ネフ錐や$ \overline{M}_{0,9} $の$ S_9 $-不変ネフ錐を生成しないことを示している。主な結果は、広範な計算的・理論的分析にもかかわらず、これらの錐内の特定の極値線が$ \mathfrak{sl}_2 $ conformal block除数の張る空間の外にあることである。

ABSTRACT

We show that $sl_2$ conformal block divisors do not cover the nef cone of $\bar{M}_{0,6}$, or the $S_9$-invariant nef cone of $\bar{M}_{0,9}$. A key point is to relate the nonvanishing of intersection numbers between these divisors and F-curves to the nonemptiness of some explicitly defined polytopes. Several experimental results and some open problems are also included.

研究の動機と目的

• すべてのネフ除数が$ \overline{M}_{0,n} $上で$ \mathfrak{sl}_2 $ conformal blockの行列式ラインバンドルとして生じるかどうかを特定すること。
• $ S_n $-対称なネフ除数が$ \overline{M}_{0,n} $上で対称化された conformal block除数によって生成されるかどうかを調査すること。
• 交差理論的および多面体的手法を用いて、どのネフ除数が conformal block 除数であるかを特徴づける未解決問題を解決すること。
• $ \mathfrak{sl}_2 $のレベルと重みに関して、小規模な$ n $を超えた場合に、conformal block除数の錐が有限生成でないことを示す証拠を提供すること。

提案手法

• F曲線をテスト曲線として用い、$ \overline{M}_{0,n} $内の有効な曲線と conformal block除数の間の交差数を計算する。
• 交差数の非消滅性を、融合規則を符号化する明示的に定義された多面体の空でない条件に関連付ける。
• F曲線上でのチャーン類および行列式ラインバンドルの次数に関するFakhruddinの公式を用いて交差数を計算する。
• Macaulay2、ConformalBlocks、NefWiz、polymakeなどの計算ツールを用いて除数錐を分析し、多面体の条件を検証する。
• ラティス点の特定の偶奇性を持つ多面体内の存在性に帰着させ、Rasmussen-Walton型の不等式を活用する。
• 対称性の簡約と軌道解析を用いて、$ \overline{M}_{0,6} $のネフ錐内の$ S_n $-軌道の多数を処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathfrak{sl}_2 $ conformal block除数が$ \overline{M}_{0,6} $の全ネフ錐を生成するか。
• RQ2 $ S_9 $-対称な conformal block除数が$ \overline{M}_{0,9} $の$ S_9 $-不変ネフ錐全体をカバーするか。
• RQ3 F曲線との交差数の非消滅性が、重みとレベルの制約によって定義される多面体の空でない条件によって特徴づけられるか。
• RQ4 すべてのレベルと重みに関して、$ \mathfrak{sl}_2 $ conformal block除数の錐の有限生成集合が存在するか。
• RQ5 一般の$ \mathfrak{g} $に関して、conformal blockバンドルのランクと次数が、多面体内のラティス点の個数として表現できるか。

主な発見

• $ \mathfrak{sl}_2 $ conformal block除数は$ \overline{M}_{0,6} $の全ネフ錐をカバーしない。これは$ S_6 $-軌道構造内に存在する非 conformal block 極値線がその証拠である。
• $ \overline{M}_{0,9} $において、$ S_9 $-不変ネフ錐には4つの極値線がある。そのうち3つは conformal block除数によって張られるが、4番目の線（$ B_2 + B_3 + 2B_4 $が張る線）はいかなる$ \mathfrak{sl}_2 $ conformal block除数によっても生成されない。
• F曲線との交差数の非消滅性は、重みとレベルの制約によって定義される特定の多面体の空でない条件に同値である。
• $ \overline{M}_{0,9} $における極値線$ B_2 + B_3 + 2B_4 $は、$ F_{5,2,1,1} $-曲線との交差が消えるため、いかなる$ \mathfrak{sl}_2 $ conformal block除数の倍数にもなりえない。
• この論文は、$ n=9 $において、$ \mathfrak{sl}_2 $ conformal block除数の錐が有限生成ではないことを計算的証拠として提供している。これは、どの有限レベルや代数に対しても欠落している線を生成できないことによる。
• 著者らは、与えられたネフ除数が conformal block除数であるかどうかを決定する一般のアルゴリズムは、リー代数とレベルの無限大のパrameter空間のため、未だ到達不可能であると予想している。