[論文レビュー] SL(2,R)-invariant probability measures on the moduli spaces of translation surfaces are regular

Artur Avila, Carlos Matheus+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$SL(2,\mathbb{R})$-不変な確率測度が、任意の正規化された位相的種数$g$の翻訳多様体のモジュライ空間上に存在する場合、その測度が正則であることを示す。そのために、長さ$\leq \rho$の非平行なサドルコネクションをもつ多様体の集合の測度が$\rho \to 0$のとき$o(\rho^2)$であることを証明する。この結果により、リャプノフ指数のEskin-Kontsevich-Zorich公式における重要な技術的仮定が解消される。

ABSTRACT

In the moduli space $H_g$ of normalized translation surfaces of genus $g$, consider, for a small parameter $ρ>0$, those translation surfaces which have two non-parallel saddle-connections of length $\leq ρ$. We prove that this subset of $H_g$ has measure $o(ρ^2)$ w.r.t. any probability measure on $H_g$ which is invariant under the natural action of $SL(2,R)$. This implies that any such probability measure is regular, a property which is important in relation with the recent fundamental work of Eskin-Kontsevich-Zorich on the Lyapunov exponents of the KZ-cocycle.

研究の動機と目的

• 位相的種数$g \geq 1$の正規化された翻訳多様体のモジュライ空間$\mathcal{H}_g$上での$SL(2,\mathbb{R})$-不変な確率測度の正則性を確立すること。
• リャプノフ指数の和を求めるEskin-Kontsevich-Zorichの公式における技術的ギャップを解消すること。この公式は測度が正則であることを前提としている。
• 任意のこのような不変測度のもとで、長さ$\leq \rho$の非平行な二つのサドルコネクションをもつ翻訳多様体の集合の測度が$o(\rho^2)$であることを示すこと。
• Eskin-Kontsevich-Zorichの公式で用いられる部分積分の議論に、幾何学的および力学的根拠を与えること。

提案手法

• 行列分解$g_t R_\theta n_u$を用いて、$SL(2,\mathbb{R})$作用によるサドルコネクションの力学的挙動を分析すること。
• 対角部分群$g_t = \mathrm{diag}(e^t, e^{-t})$の軌道に沿った測度の挙動を調べるため、条件付き測度の技法を適用すること。
• Euklideanノルムと三角恒等式を用いて、$SL(2,\mathbb{R})$変換下でのベクトルのノルムを推定すること。
• 基本領域$X_0^*$上に参考測度$m_0$を構成し、スケーリングと積分を用いて全不変測度$m$と関係づけること。
• サドルコネクション間の角度の分離と最小角度の推定を用いて、特異な構成の寄与を制御すること。
• 部分積分と曲率に基づく議論を適用し、幾何的量とSiegel-Veech定数を関係づける。この際、正則性条件に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の$SL(2,\mathbb{R})$-不変な確率測度が、Eskin-Kontsevich-Zorichの公式に必要な正則性条件を満たすか？
• RQ2 長さ$\leq \rho$の非平行な二つのサドルコネクションをもつ翻訳多様体の集合の漸近的測度はいかほどか？
• RQ3 $SL(2,\mathbb{R})$作用の力学的挙動は、短いサドルコネクションの幾何にどのように影響を与えるか？
• RQ4 Eskin-Kontsevich-Zorichの公式における部分積分の議論は、追加仮定なしに正当化可能か？
• RQ5 短いサドルコネクション間の角度の分離は、不変測度の正則性においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意の$SL(2,\mathbb{R})$-不変な確率測度のもとで、長さ$\leq \rho$の非平行な二つのサドルコネクションをもつ翻訳多様体の集合の測度は$o(\rho^2)$である。
• このことから、Eskin-Kontsevich-Zorichの研究で定義された正則性条件が満たされることが示される。
• 正則性条件が満たされるのは、短く非平行なサドルコネクションをもつ多様体の測度が$\rho^2$より速く減少するためである。
• 証明は、$g_t R_\theta$作用下でのベクトルのノルムの制御と、角度の分離を用いた問題的構成の除外に依存している。
• この結果により、Eskin-Kontsevich-Zorichの公式における部分積分の議論が、$SL(2,\mathbb{R})$-不変性のみから正当化可能であることが確認される。
• 重要な推定は$m(Y(T,\frac{\pi}{2},X_0^*)) < \frac{1}{4}\eta \rho^2$および類似の境界であり、これらが$o(\rho^2)$の減少を示している。