[論文レビュー] Second variation of Zhang's lambda-invariant on the moduli space of curves

Robin de Jong|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、曲線のモジュライ空間上での張のλ不変量の第二変分を計算し、$(8g+4)\lambda$ が genus に依存する定数を除いて Hain-Reed のβ不変量に等しいことを証明する。川澄の第二変分に関する研究および Ceresa サイクルの性質を用いて、双曲的曲線におけるλ不変量の明示的公式を、判別モジュラー形式のペトロフノルムを用いて導出し、算術的不変量と自己形式の間の深い関係を確立する。

ABSTRACT

We compute the second variation of the λ-invariant, recently introduced by S. Zhang, on the complex moduli space M_g of curves of genus g>1, using work of N. Kawazumi. As a result we prove that (8g+4)λis equal, up to a constant, to the β-invariant introduced some time ago by R. Hain and D. Reed. We deduce some consequences; for example we calculate the λ-invariant for each hyperelliptic curve, expressing it in terms of the Petersson norm of the discriminant modular form.

研究の動機と目的

• genus $g \geq 2$ の曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ 上での張のλ不変量の第二変分を計算すること。
• 第二変分の技法を用いてλ不変量とHain-Reedのβ不変量を関連付けること。
• 双曲的曲線に対してλ不変量を明示的に計算し、判別モジュラー形式のペトロフノルムを用いて表現すること。
• モジュライ空間上での算術的不変量と自己形式の間の明確な関係を確立すること。

提案手法

• 張のλ不変量に関連するφ不変量の第二変分公式を、川澄の結果を用いる。
• Ceresa サイクルに関連する双拡張ラインバンドルおよび正則関数を用いた Hain-Reed のβ不変量の構成を適用する。
• λ不変量とβ不変量の第二変分を比較し、それらの比例関係を確立する。
• 双曲的曲線では Ceresa サイクルが消えることを利用して、双拡張計量が双曲的部分集合上で定数であることを導出する。
• Hodge計量および双拡張計量を Hodge バンドル $\mathcal{L}^{\otimes 8g+4}$ の行列式に適用し、ノルムを比較する。
• 局所的 Cornalba-Harris 等式および Yamaki の非アルキメデス的公式を用いて、λ-β関係における定数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 張のλ不変量の第二変分は、曲線のモジュライ空間上での既知の不変量とどのように関係するか？
• RQ2 双曲的曲線におけるλ不変量は、古典的モジュラー形式を用いて表現可能か？
• RQ3 Hain-Reed のβ不変量は、第二変分を用いて直接的にλ不変量と関連付け可能か？
• RQ4 $(8g+4)\lambda$ とβ不変量の間の正確な比例定数は何か？
• RQ5 $(8g+4)\lambda = \beta + C_g$ の関係における定数 $C_g$ は、双曲的曲線に対して消えるか？

主な発見

• 川澄の公式を用いて、張のλ不変量の第二変分が、ユニバーサル曲線上の正規化された2形式に関連して計算される。
• $(8g+4)\lambda = \beta$ は、$g$ にのみ依存する定数を除いて成り立ち、λ不変量と Hain-Reed のβ不変量の直接的な関係を確立する。
• 双曲的曲線では、$(8g+4)\lambda = -\log\|\Lambda\|_{\mathrm{Hdg}}$ と表され、$\Lambda$ は $\mathcal{L}^{\otimes 8g+4}$ の全域的 trivializing フラグである。
• 非アルキメデス的解析および局所的 Cornalba-Harris 等式を用いて、$(8g+4)\lambda = \beta + C_g$ の関係における定数 $C_g$ が双曲的曲線に対して消えることが示された。
• 双曲的曲線におけるλ不変量は、判別モジュラー形式 $\Delta_g$ のペトロフノルムを用いて $\|\Lambda\|_{\mathrm{Hdg}}^{n} = (2\pi)^{4g^2r}\|\Delta_g\|^{g}$ と表現される。
• 公式 $(8g+4)\lambda = g\xi_0 + \sum_{j=1}^{[(g-1)/2]} 2(j+1)(g-j)\xi_j + \sum_{i=1}^{[g/2]} 4i(g-i)\delta_i$ は、半安定モデルにおける特異ファイバーの型および亜型を用いてλ不変量を計算する。