[論文レビュー] Slow ultrafilters and asymptotic cones of proper metric spaces

Lars Scheele|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、スローユルトラフィルターを用いて、適切な距離空間の漸近的コーンを構成し、任意の適切な距離空間が別の適切な距離空間の漸近的コーンとして現れることを証明する。ドゥルーチュとサピルの問いに応えるもので、成長が速い列によって得られるコーンも、スローユルトラフィルターを用いて再現可能であり、リプシッツ定数が1に近づく双リプシッツ写像によって幾何的構造が保存されることを示している。

ABSTRACT

In this paper I present an elementary construction to prove that any proper metric space can arise as the asymptotic cone of another proper metric space. Furthermore I answer a question of Drutu and Sapir concerning slow ultrafilters.

研究の動機と目的

• 任意の適切な距離空間が、別の適切な距離空間の漸近的コーンとして実現可能であることを示すこと。
• ドゥルーチとサピルが提起した、スローユルトラフィルターを用いた場合に異なる漸近的コーンが得られるかどうかという問いに応えること。
• 成長が速い列を用いて構成されたコーンも、スローユルトラフィルターを用いて再現可能であり、幾何的性質が保存されることを示すこと。
• 非標準解析を避けて、ユルトラフィルターと超積を用いた初等的な漸近的コーンの構成を提供すること。

提案手法

• ユルトラフィルターと超積を用いて漸近的コーンを定義し、ラオスの定理を用いて一階論理の転送を活用する。
• 細い集合とその補集合を含むフィルターを構成し、ツォルンの補題を用いてそれをスローユルトラフィルターに拡張する。
• 特定の区間でインデックス付けられた列を用いて、コーン間の写像を定義し、双リプシッツ制御を確保する。
• 定数列 $ L_k \to 1 $ を用いて、写像が極限で等長写像になることを示す。
• 写像 $ \varphi $ が適切に定義されており、距離を要因 $ L_k $ で保存することを示す。$ L_k $ は1に近づく。
• 集合 $ X_{L,I} $ 及びその補集合が成長が速くないという性質を用いて、フィルター構成が正当であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の適切な距離空間が、別の適切な距離空間の漸近的コーンとして実現可能か？
• RQ2 成長が速い列によって得られる漸近的コーンも、スローユルトラフィルターを用いて再現可能か？
• RQ3 極限で等長写像に近づく双リプシッツ写像がコーン間で構成可能か？
• RQ4 スローユルトラフィルターだけですべての有限生成群の可能な漸近的コーンを生成可能か？
• RQ5 漸近的コーンの構成を、成長が速いスケーリング列に依存させずに可能か？

主な発見

• 任意の適切な距離空間が、別の適切な距離空間の漸近的コーンとして実現可能であり、構成は反復的である。
• 成長が速い列に対する空間の漸近的コーンも、スローユルトラフィルターを用いて再現可能である。
• 定数 $ L_k \to 1 $ の双リプシッツ写像 $ \varphi $ がコーン間で存在し、極限で等長写像に近づくことを示す。
• 構成により、写像 $ \varphi $ による列の像が、ユルトラフィルター $ \mu' $ に関して適切に定義され、コーン構造が保存されることを保証する。
• $ \mathcal{F}_{L_k} $ は上昇鎖をなしており、ツォルンの補題を用いて超フィルター $ \mu' $ に拡張可能である。
• この結果により、非同相なコーンを持つ群の例が、成長が速い列に依存せず、スローユルトラフィルターのみを用いて構成可能であることが示され、ドゥルーチとサピルの問いが解決される。