[論文レビュー] Small cancellation in acylindrically hyperbolic groups

Michael Hull|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、双曲的、相対的に双曲的、写像類群、自由群の外部自己同型群などを含む広範なクラスであるアリリンドリックに双曲的群への小分割け理論を一般化する。著者は、アリリンドリック作用に適合する新しい小分割け条件を導入し、双曲的空間上のアリリンドリック作用を伴う群に対して、2生成の群でちょうど2つの共役類しか持たないような異方的商群といった構成を可能にした。さらに、このような群が、k 個生成のねじれのないアリリンドリックに双曲的群の空間の閉包において一般的であることを証明した。

ABSTRACT

We generalize a version of small cancellation theory to the class of acylindrically hyperbolic groups. This class contains many groups which admit some natural action on a hyperbolic space, including non-elementary hyperbolic and relatively hyperbolic groups, mapping class groups, and groups of outer automorphisms of free groups. Several applications of this small cancellation theory are given, including to Frattini subgroups and Kazhdan constants, the construction of various \exotic"' quotients, and to approximating acylindrically hyperbolic groups in the topology of marked group presentations.

研究の動機と目的

• 古典的な小分割け理論を、双曲的および相対的に双曲的群を超えて、より広いクラスのアリリンドリックに双曲的群へ拡張すること。
• アリリンドリック群作用が双曲的距離空間に作用する場合に適合する小分割け枠組みを構築すること。
• 新理論を用いて、たとえば2つの共役類しか持たないような異方的性質を持つ群の構成に応用すること。
• このような異方的群が、マークド群表示の位相において、k 個生成のアリリンドリックに双曲的群の空間の閉包において一般的であることを示すこと。

提案手法

• 古典的な小分割け理論における非自己同型的群の役割を一般化する、アリリンドリックに双曲的群における「適切な部分群」の概念を導入する。
• アリリンドリック作用下でのケイリー図の幾何と、双曲的に埋め込まれた部分群に基づく小分割け条件を定義する。
• アリリンドリック双曲性と拡大する球上の単射性を保つ全単射準同型を用いて、逐次的な商群を構成する。
• これらの商群の帰納的極限を用いて、2つの共役類といった望ましい性質を引き継ぐ最終的な群を生成する。
• ねじれのないアリリンドリックに双曲的群のクラスにこの構成を適用し、2つの共役類を持つ群の一般性を証明する。
• マークド群表示の位相における位相的稠密性を活用して、2つの共役類を持つ群が、k 個生成のねじれのないアリリンドリックに双曲的群の空間の閉包において稠密であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小分割け理論は、写像類群や Out(F_n) などを含む多くの重要な群を含むアリリンドリックに双曲的群のクラスへ一般化可能か？
• RQ2 アリリンドリックに双曲的群の商が、依然としてアリリンドリックに双曲的であり、構造的性質を引き継ぐために必要な条件は何か？
• RQ3 新小分割け枠組みを用いて、ちょうど2つの共役類しか持たない群を構成可能か？
• RQ4 ちょうど2つの共役類を持つという性質は、k 個生成のアリリンドリックに双曲的群の空間において一般的か？
• RQ5 2つの共役類を持つ群は、ねじれのないアリリンドリックに双曲的群の空間の閉包内での位相的稠密性はどの程度か？

主な発見

• アリリンドリックに双曲的群に対する新しい小分割け理論が開発され、古典的な結果がより広い群のクラスへ一般化された。
• 2生成のアリリンドリックに双曲的群で、ちょうど2つの共役類しか持たないものが構成され、長年の未解決問題であるそのような群の存在についての問いに答えが得られた。
• ちょうど2つの共役類を持つという性質は、k 個生成のねじれのないアリリンドリックに双曲的群の空間の閉包において一般的である。
• 2つの共役類を持つ群は、マークド群表示の位相において、k 個生成のねじれのないアリリンドリックに双曲的群の空間の閉包において稠密である。
• 構成法はアリリンドリック双曲性を保ち、商群における有限位数の元が、元の群からの有限位数の元の像であることを保証する。
• この方法は、写像類群、Out(F_n)、3次元多様体の基本群など、さまざまな群に適用可能であり、広範な適用可能性を示している。