[論文レビュー] Small Cuts and Connectivity Certificates: A Fault Tolerant Approach

Merav Parter|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、CONGESTモデルにおける分散接続性問題に対する耐故障性アプローチを提示し、耐故障性ネットワーク設計にインspiredされた新しいグラフサンプリング技術を導入する。定数の辺連結性λに対して、最小カットをpoly(D)ラウンドで計算する最初の決定的アルゴリズムを達成し、(1−ε)λ-スパース証明書をO(1/ε² · log²⁺ᵒ⁽¹⁾n)ラウンドで構築する。これは、従来のO(D)の境界をはるかに上回る、スパース証明書のラウンド複雑性の顕著な改善をもたらす。

ABSTRACT

We revisit classical connectivity problems in the CONGEST model of distributed computing. By using techniques from fault tolerant network design, we show improved constructions, some of which are even "local" (i.e., with $\widetilde{O}(1)$ rounds) for problems that are closely related to hard global problems (i.e., with a lower bound of $Ω(Diam+\sqrt{n})$ rounds). Our main results are: (1) For $D$-diameter unweighted graphs with constant edge connectivity, we show an exact distributed deterministic computation of the minimum cut in $poly(D)$ rounds. This resolves one the open problems recently raised in Daga, Henzinger, Nanongkai and Saranurak, STOC'19. (2) For $D$-diameter unweighted graphs, we present a deterministic algorithm that computes of all edge connectivities up to constant in $poly(D)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n\log\log n})}$ rounds. (3) Computation of sparse $λ$ connectivity certificates in $\widetilde{O}(λ)$ rounds. Previous constructions where known only for $λ\leq 3$ and required $O(D)$ rounds. This resolves the problem raised by Dori PODC'18.

研究の動機と目的

• 定数の辺連結性λをもつグラフにおいて、最小カットをpoly(D)ラウンドで計算するという未解決問題を解消すること。
• ランダム化手法に依存しない、最小カットおよびスパース接続性証明書のための最初の決定的分散アルゴリズムを開発すること。
• 耐故障性スパーンナ構築法の適用範囲を接続性証明書問題へ拡張すること。
• 定数の連結性値をもつグラフにおいて、すべての辺連結性をサブライン時間で計算できること。

提案手法

• 耐故障性（FT）ネットワーク設計からのグラフサンプリング技術を活用し、スパース証明書の構築および最小カットの計算を実現する。
• ユニバーサル集合の新しい定義を導入し、それを効率的に計算するアルゴリズムを提示することで、FTサンプリング技術の決定的化を実現する。
• ランダムサンプリングによる辺分解を用い、λ-辺連結グラフを、各々がΘ(log n / ε²)の連結性をもつμ個の部分グラフに分割し、独立処理を可能にする。
• 対数的ストレッチをもつ超スパース耐故障性スパーンナを適用し、O(λn)エッジのスパース証明書を低ラウンド複雑性で構築する。
• 低混雑度サイクルカバーとサンプリングを組み合わせ、すべての辺連結性をpoly(D) · 2^O(√(log n log log n))ラウンドで計算する。
• λ-辺連結グラフGに対してf = λ−1のf-FTスパーンナは、自身がλ-辺連結であることを証明し、スパーンナと接続性証明書の間の重要な関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数の辺連結性λをもつグラフにおいて、CONGESTモデルで最小カットをpoly(D)ラウンドで計算できるか？
• RQ2 最小カットおよびスパース証明書のための既存のランダム化アルゴリズムを、低ラウンド複雑性を保ちつつ決定的化することは可能か？
• RQ3 λ ≥ 4を満たすλ-辺連結グラフに対して、(1−ε)λ-スパース証明書を構築する最適なラウンド複雑性は何か？
• RQ4 定数の連結性値をもつグラフにおいて、すべての辺連結性の計算をサブライン時間で行えるか？
• RQ5 耐故障性スパーンナ構築法を、スパース接続性証明書の生成に再利用することは可能か？

主な発見

• 本稿は、任意の定数λについて、最小カットをpoly(D)ラウンドで計算するという未解決問題を解決し、そのような最初のアルゴリズムを提供する。
• 最小カットを計算するための最初の決定的分散アルゴリズムを提示し、最も効率の良い既存のランダム化アルゴリズムと同等のラウンド複雑性を達成する。
• (1−ε)λ-スパース証明書の構築は、O(1/ε² · log²⁺ᵒ⁽¹⁾n)ラウンドで達成され、Dに依存せず、nに対してサブラインである。これは、従来のO(D)の境界を著しく上回る改善をもたらす。
• λ = Ω(log n)のグラフに対して、(1−ε)λ-スパース証明書はO(1/ε² · log²⁺ᵒ⁽¹⁾n)ラウンドで計算可能であり、ラウンド複雑性からλの依存性を排除する。
• 本手法により、定数の連結性をもつグラフにおいて、すべての辺連結性を計算する最初のサブラインアルゴリズムが実現され、poly(D) · 2^O(√(log n log log n))ラウンドで達成される。
• 耐故障性スパーンナとスパース接続性証明書の間のタイトな関係を確立し、f = λ−1のf-FTスパーンナがλ-辺連結であることを示した。