[論文レビュー] Small Lifts of Expander Graphs are Expanding.

Naman Agarwal, Alexandra Kolla+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Graph theory and applications参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、d-正則な拡張グラフの小さなランダムなk-リフトが、強力な拡張性を継承することを証明している。ベースグラフの非自明な固有値の絶対値がλで抑えられているならば、高確率でリフトのすべての非自明固有値はO(λ)以下であり、中程度の拡張性がある場合にはλ + O(√d)以下となる。この結果は、kが有界な場合の最初のスペクトル的境界を確立し、ラマヌジャン・グラフの典型的な小さなリフトがほぼラマヌジャンであることを示している。

ABSTRACT

A k-lift of an n-vertex base-graph G is a graph H on n × k vertices, where each vertex of G is replaced by k vertices and each edge (u, v) in G is replaced by a matching representing a bijection piuv so that the edges of H are of the form (u, i), (v, piuv(i)). H is a (uniformly) random lift of G if for every edge (u, v) the bijection piuv is chosen uniformly and independently at random. The main motivation for studying lifts has been understanding Ramanujan expander graphs via two key questions: Is a “typical ” lift of an expander graph also an expander; and how can we (efficiently) construct Ramanujan expanders using lifts? Lately, there has been an increased interest in lifts and their close relation to the notorious Unique Games Conjecture [Kho02]. In this paper, we analyze the spectrum of random k-lifts of d-regular graphs. We show that, for random shift k-lifts, if all the nontrivial eigenvalues of the base graph G are at most λ in absolute value, then with high probability depending only on the number n of nodes of G (and not on k), the absolute value of every nontrivial eigenvalue of the lift is at most O(λ). Moreover, if G is moderately expanding, then this bound can be improved to λ +O(√d). While previous results on random lifts were asymptotically true with high probability in the degree of the lift k, our result is the first upperbound on spectra of lifts for bounded k. In particular, it implies that a typical small lift of a Ramanujan graph is almost Ramanujan, and we believe it will prove crucial in constructing large Ramanujan expanders of all degrees. We also establish a novel characterization of the spectrum of shift lifts by the spectrum of certain k symmetric matrices, that generalize the signed adjacency matrix (e.g. see [BL06]). We believe this characterization is of independent interest.

研究の動機と目的

• 小さなk-リフトがd-正則な拡張グラフの典型的なものとして、依然として良い拡張グラフのままであるかどうかを特定すること。
• kが大きい場合の漸近的結果に代わる、有界kにおけるランダムk-リフトのスペクトル的挙動を解明すること。
• リフトに基づく手法を用いて、大きなラマヌジャン拡張グラフを構築するための構成的道筋を提供すること。
• k×k対称行列によって一般化された符号付き隣接行列を用いた、シフトリフトの新しいスペクトル的特徴付けを確立すること。

提案手法

• エッジマッチングを表すランダム置換行列をブロック行列として持つ隣接行列のスペクトルを分析することで、ランダムシフトk-リフトのスペクトルを解析する。
• スペクトル分解技術を用いて、リフトグラフの固有値をベースグラフのスペクトルギャップの用語で上限付ける。
• 符号付き隣接行列の枠組みを超えて、k個の対称行列の固有値を通じてシフトリフトスペクトルの新しい特徴付けを導入する。
• 確率論的手法を適用し、nにのみ依存する高確率で固有値がO(λ)の周囲に集中することを示す。
• リフトの固有値をベースグラフの固有値に関連付けるために、スペクトルの入れ子構造を用いる。
• リフトにおけるランダム置換行列の構造を活用し、絶対値の2番目に大きな固有値に対するタイトな上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d-正則な拡張グラフの典型的な小さなk-リフトが、有界kにおいても良い拡張グラフのままであるか？
• RQ2 kが小さく固定されているとき、ベースグラフのスペクトル的性質がそのランダムk-リフトに保たれるか？
• RQ3 ベースグラフのスペクトルギャップを用いて、ランダムk-リフトの非自明固有値の最良の上界は何か？
• RQ4 符号付き隣接行列の枠組みを超えて、シフトリフトのスペクトルを代数的にどのように特徴付けられるか？
• RQ5 このスペクトル的制御を用いて、すべての次数に対してほぼラマヌジャン・グラフを構築できるか？

主な発見

• 任意の非自明固有値の絶対値がλで抑えられるd-正則なベースグラフGに対して、ランダムk-リフトは高確率で、すべての非自明固有値がO(λ)以下である。この確率はnにのみ依存する。
• Gが中程度に拡張されている場合、境界はλ + O(√d)に改善され、よりタイトなスペクトル的制御が得られる。
• この結果はkが有界な場合に成立し、kの増加に依存しない最初のこのようなスペクトル的境界である。
• シフトリフトのスペクトルは、符号付き隣接行列を一般化するk個の対称行列の固有値によって完全に特徴付けられる。
• この手法により、ラマヌジャン・グラフの典型的な小さなリフトがほぼラマヌジャンであることが示され、大きなラマヌジャン拡張グラフを構築するための実用的な道筋が示唆される。
• スペクトル的特徴付けは、拡張性を超えた分野への応用が可能な、新しい代数的ツールを提供する。