[論文レビュー] Small resolutions of SU(5)-models in F-theory

Mboyo Esole, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、F-theoryにおけるSU(5)-GUTモデルの明示的かつ小解消による高次元特異点の解消を、楕円曲線に沿った四重多様体の高次元特異点を、フロップ遷移によって接続された六重の小解消ネットワークを用いて行う。主な結果は、次元3の特異点において、標準的なコダーイ分類に従わないが、ファイバーのランクを維持する、異なった非ダイニン型双対グラフを持つファイバー、具体的には新しい$\tilde{E}^{-}_{6}$構造の発見である。これは、SU(5)モデル幾何学に関する従来の仮定に挑戦するものである。

ABSTRACT

We provide an explicit desingularization and study the resulting fiber geometry of elliptically fibered fourfolds defined by Weierstrass models admitting a split A_4 singularity over a divisor of the discriminant locus. Such varieties are used to geometrically engineer SU(5) Grand Unified Theories in F-theory. The desingularization is given by a small resolution of singularities. The I_5 fiber naturally appears after resolving the singularities in codimension-one in the base. The remaining higher codimension singularities are then beautifully described by a four dimensional affine binomial variety which leads to six different small resolutions of the the elliptically fibered fourfold. These six small resolutions define distinct fourfolds connected to each other by a network of flop transitions forming a dihedral group. The location of these exotic fibers in the base is mapped to conifold points of the threefolds that defines the type IIB orientifold limit of the F-theory. The full resolution have interesting properties, specially for fibers in codimension three: the rank of the singular fiber does not necessary increase and the fibers are not necessary in the list of Kodaira and some are not even (extended) Dynkin diagram.

研究の動機と目的

• F-theoryにおけるSU(5)-GUTモデルの高次元特異点を、標準的なコダーイ分類では捉えきれない形で解消すること。
• 分裂$\tilde{A}_4$特異点を持つワイエルシュトラスモデルの明示的かつ小解消を、カルラヤ条件を保つ形で構成すること。
• トーリック幾何と代数幾何を用いて、小解消のネットワークを記述し、二面体群の構造を明らかにすること。
• 特に$\beta_4 = \beta_5 = 0$における次元3のファイバー強化を分析すること。

提案手法

• 最初に、標準的な吹き上げにより次元1特異点を解消し、SU(5)除法上に$I_5$ファイバーを得る。
• 高次元特異点は、3本の錐状直線が一点で交わるアフィン二項式多様体として記述される局所的領域で分析される。
• トーリック幾何を用いて、二項式特異点を解消する6つの異なる小解消が構成される。それぞれが特異点の解消方法の異なる選択に対応する。
• 小解消はフロップ遷移によって接続され、二面体群を形成する。例外的局所は、3本の直線が一点に集まるバケツ型の上への$\bb{CP}^1$-バンドルである。
• 代数的およびトーリックな記述を用いて、6つの小解消とその遷移ネットワークを分類する。
• バティレーヴの定理（ベッチ数に関する）を適用し、SU(5)モデルの予想されるファイバー幾何が、射影代数幾何では不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F-theoryにおけるSU(5)-GUTモデルの次元3におけるファイバー幾何の構造は何か、特に$\beta_4 = \beta_5 = 0$においては？
• RQ2 ファイバーのランクを増加させず、標準的なコダーイ型を導入せず、小解消によって高次元特異点を解消できるか？
• RQ3 この二項式多様体の6つの異なる小解消はどのように関連づけられるのか？また、フロップ遷移がそれらを接続する役割は何か？
• RQ4 双対グラフ$\tilde{E}^{-}_{6} = T^{-}_{3,3,3}$を持つ異なったファイバーの性質は何か？標準的な$\tilde{E}_6$ファイバーとはどのように異なるか？
• RQ5 なぜ$\beta_4 = \beta_5 = 0$で強化が起こってもファイバーのランクが変わらないのか？GUTモデル構築にどのような含意があるか？

主な発見

• SU(5)モデルに対して6つの小解消が存在し、それらはフロップ遷移のネットワークによって接続され、位数6の二面体群を形成する。
• 次元3において、6つの小解消のうち4つは双対グラフ$E_6$のファイバーを、残りの2つは新しい異なったファイバー（双対グラフ$\tilde{E}^{-}_{6} = T^{-}_{3,3,3}$）を生成する。これは、3本の2階チェーンが一点で交わるバケツ型構造である。
• 異なった$\tilde{E}^{-}_{6}$ファイバーはダイニン図形ではなく、いかなるコダーイ型や拡張ダイニン型に対応せず、新たな特異ファイバーのクラスを表す。
• $\beta_4 = \beta_5 = 0$における判別式の強化にもかかわらず、ファイバーのランクは$E_6$に類似したままであり、ファイバー強化下でもランク保存が成立している。
• このような異なったファイバーの存在は、標準的なSU(5)モデルの予想されるファイバー幾何が、ベッチ数に関するバティレーヴの定理により、射影代数幾何と整合しないことを示唆する。
• 解消プロセスは次元1で$I_5$ファイバーを維持し、次元2で$\tilde{A}_5$/$\tilde{D}_5$の強化も維持するため、既知のGUT物理学と整合していることが確認される。