[論文レビュー] Small-time asymptotics for Gaussian self-similar stochastic volatility models

Archil Gulisashvili, Frédéri Viens+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ガウス型自己相似確率ボラティリティモデルにおける資産価格密度、コール・プット価格、インプライド・ボラティリティの小時間漸近挙動を導出する。モデルフリーの自己相似パラメータ $ H $ の推定器を確立し、$ H $、最初のカルフネン-ローブ固有値、およびその多重度に明示的な依存関係を持つ。金利が低い状況におけるアウェイ・フォーム・ザ・マネーの状況では、統計的解析を別個に実施し、インプリッド・ボラティリティデータから $ H $ を短時間満期においても高精度でキャリブレーション可能である。

ABSTRACT

We consider the class of self-similar Gaussian stochastic volatility models, and compute the small-time (near-maturity) asymptotics for the corresponding asset price density, the call and put pricing functions, and the implied volatilities. Unlike the well-known model-free behavior for extreme-strike asymptotics, small-time behaviors of the above depend heavily on the model, and require a control of the asset price density which is uniform with respect to the asset price variable, in order to translate into results for call prices and implied volatilities. Away from the money, we express the asymptotics explicitly using the volatility process' self-similarity parameter $H$, its first Karhunen-Loeve eigenvalue at time 1, and the latter's multiplicity. Several model-free estimators for $H$ result. At the money, a separate study is required: the asymptotics for small time depend instead on the integrated variance's moments of orders 1/2 and 3/2, and the estimator for $H$ sees an affine adjustment, while remaining model-free.

研究の動機と目的

• ガウス型自己相似確率ボラティリティモデルにおける資産価格密度、オプション価格、インプライド・ボラティリティの小時間漸近的挙動を分析すること。
• 資産価格密度における一様な制御を活用して、明示的かつモデルフリーの自己相似パラメータ $ H $ の推定器を開発すること。
• アウェイ・フォーム・ザ・マネーとイット・オブ・ザ・マネーの漸近的状態を区別し、それぞれに異なる解析的手法を要すること。
• 特に流動性が低い短時間満期においても、市場で観測されたインプリッド・ボラティリティから $ H $ を高精度でキャリブレーション可能にすること。
• 数値シミュレーションを通じて漸近公式の妥当性を検証し、さまざまな $ H $ 値と満期においてインプリッド・ボラティリティのフィッティング精度が極めて高いことを示すこと。

提案手法

• コール・プライスの漸近的挙動をインプリッド・ボラティリティの漸近的挙動に翻訳するために不可欠な、ストライク・プライス $ K $ にわたる一様性制御を備えた、ラプラス法の特化版を適用する。
• ボラティリティ過程のカルフネン-ローブ展開を用いて、$ H $、時間1における最初の固有値、およびその多重度を用いて漸近定数を表現する。
• 文献[35]の一般結果を用いて、コール・プライスの小時間漸近的挙動をインプリッド・ボラティリティの漸近的挙動に翻訳する。
• インテグレーテッド・ボラティリティの $ \frac{1}{2} $ 次および $ \frac{3}{2} $ 次モーメントを用いた、イット・オブ・ザ・マネーの場合の別個の漸近的表現を導出する。
• モンテカルロ・シミュレーションを用いて、係数を数値的に計算し、オプション価格およびインプリッド・ボラティリティの漸近公式の妥当性を検証する。
• 定理11を用いて、シミュレートされたオプション・データから $ H $ をキャリブレーションし、さまざまな満期および $ H $ 値においても安定性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス型自己相似確率ボラティリティモデルにおいて、資産価格密度、コール・プット価格、インプリッド・ボラティリティの小時間漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 小時間領域において、インプリッド・ボラティリティデータからモデルフリーに自己相似パラメータ $ H $ を推定可能か？
• RQ3 最初のカルフネン-ローブ固有値およびその多重度は、アウェイ・フォーム・ザ・マネーにおける小時間漸近定数を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 イット・オブ・ザ・マネーの漸近的挙動はアウェイ・フォーム・ザ・マネーの状況とどのように異なり、どのようなインテグレーテッド・ボラティリティのモーメントが支配的か？
• RQ5 実用的満期（例：1～14日）において、漸近公式がインプリッド・ボラティリティをどの程度正確に近似できるか？

主な発見

• インプリッド・ボラティリティの漸近的挙動は自己相似パラメータ $ H $ に極めて敏感であり、$ H $ が高くなるほど精度が向上する。
• $ H = 0.51 $ の場合、2週間までで相対誤差が5%未満となり、2.3日までで1%未塔の誤差が達成される。
• イット・オブ・ザ・マネーの漸近的挙動は、インテグレーテッド・ボラティリティの $ \frac{1}{2} $ 次および $ \frac{3}{2} $ 次モーメントに依存し、アウェイ・フォーム・ザ・マネーの状況とは別個の解析的取り扱いを要する。
• モデルフリーの $ H $ 推定器は、$ H $、最初のカルフネン-ローブ固有値、およびその多重度を用いて明示的に導出され、市場データからのキャリブレーションを可能にする。
• 定理11を用いたインプリッド・ボラティリティからの $ H $ キャリブレーションでは、14日までの満期で相対誤差が1%未満となり、$ H $ 推定値の誤差はわずか（≤0.01）にとどまる。
• 流動性が確保される限り、1日満期においても高精度な $ H $ キャリブレーションが可能であり、14日満期はほとんどの実用的応用に十分である。