[論文レビュー] Smooth densities for stochastic differential equations with jumps

Thomas Cass|ArXiv.org|Feb 13, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、跳躍成分が無限活性である場合でさえも、一様Hörmander条件が満たされる場合に、マルコフ過程のジャンプ拡散SDEの解に対して$C^{\infty}$密度が存在することを確立する。不連続セミマルティンググールに対するノリスの補題の精密化と、小さなジャンプを持つ区間における条件付き確率の議論を用いて、Malliavin共分散行列が非退化のままであることを証明し、滑らかな遷移密度の存在を保証する。

ABSTRACT

We consider a solution to a generic Markovian jump diffusion and show that for positive times the law of the solution process has a smooth density with respect to Lebesgue measure under a uniform version of Hoermander's conditions. Unlike previous results in the area the result covers a class of infinite activity jump processes. The result is accompolished by using carefully crafted refinements to the classical arguments used in proving smoothness of density via Malliavin calculus. In particular, a key ingredient is provided by our proof that the semimartinagle inequality of Norris persists for discontinuous semimartingales when the jumps of the semimartinagale are small.

研究の動機と目的

• 正の時刻におけるジャンプ拡散SDEの解の法則に対して$C^{\infty}$密度が存在するための十分条件を確立すること。
• 特にノリスの補題を含む古典的なMalliavin微積分法の技術を、小さなジャンプを伴う不連続セミマルティンググールへと拡張すること。
• 小さなジャンプを持つ区間における条件付き確率の手法を用いて、無限活性ジャンプ過程を扱い、Malliavin共分散行列に対する精密な推定を行うこと。
• 逆Malliavin共分散行列の$L^p$ノルム（$p \geq 2$）がすべての$p$で有限であることを示すことにより、$C^{\infty}$密度の基準を検証すること。
• 有限活性ジャンプに限らない応用可能な枠組みを提供することにより、ジャンプ拡散過程における滑らかな密度の結果の適用範囲を拡大すること。

提案手法

• ジャンプが十分に小さい場合に、小セミマルティンググールの値の確率推定が保たれることを示すことにより、ノリスの補題を不連続セミマルティンググールへと適応する。
• サンプルパスをジャンプが小さい部分に分割し、Malliavin共分散行列の評価に際して最大のこのような区間を重点的に扱う。
• 過程のマルコフ性と時刻不変性を用いて、確率的区間における共分散行列を固定時間区間における拡散過程の共分散行列と関連付ける。
• 強マルコフ性と、ヤコビアン$J_{0\leftarrow t}^{x,I}$がほとんど確実に$\mathbb{R}^e$を張ることを用いて、拡散過程の推定結果を移転する。
• チェビシェフの不等式と、小さなジャンプ数$N_\epsilon(t_0)$のモーメントの上限を用いて、尾確率を制御し、逆Malliavin行列の可積分性を保証する。
• ジャンプ強度とベクトル場構造に関する条件（具体的には$\kappa$、$\alpha$、$\delta$、$m(j_0)$を含む）を導出し、$P(N_\epsilon(t_0) > \lfloor t_0 (\epsilon_0/\epsilon)^\beta \rfloor)$の必要な減衰を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限活性ジャンプを伴うジャンプ拡散SDEが、どのような条件下で$C^{\infty}$密度をもつのか。
• RQ2 元々連続セミマルティンググールに対して導かれたノリスの補題は、小さなジャンプを伴う不連続過程へと拡張可能か。
• RQ3 ジャンプが存在する状況で、Malliavin共分散行列をどのように推定すれば、$C^{\infty}$密度の基準を満たすか。
• RQ4 ジャンプ測度およびベクトル場にどのような構造的仮定を置けば、逆Malliavin行列の$L^p$ノルムがすべての$p$で有限になるか。
• RQ5 小さなジャンプを持つ区間における条件付き確率のアプローチは、ジャンプ過程が無限活性であっても、滑らかさを回復させるのに十分か。

主な発見

• 一様Hörmander条件がベクトル場に満たされる限り、任意の$t_0 > 0$に対して$x_{t_0}$の法則がLebesgue測度に関して$C^{\infty}$密度を持つ。
• ジャンプが小さい場合に、不連続セミマルティンググールに対してノリスの補題の精密化された版が成り立ち、小値をとる確率が制御されることを保証する。
• 縮約されたMalliavin共分散行列の逆行列の$L^p$ノルム（すべての$p \geq 2$）がすべての$p$で有限であり、これは滑らかな密度の主要基準である。
• $16m(j_0) > 3(\kappa - n)\max\left(\frac{8 - r + v/2}{\kappa - n + \alpha}, \frac{1}{4\alpha}\right)$という条件が、逆共分散行列の可積分性を保証する。
• ジャンプ強度が$P(N_\epsilon(t_0) > \lfloor t_0 (\epsilon_0/\epsilon)^\beta \rfloor) = o(\epsilon^q)$（すべての$q > 0$）を満たす限り、無限活性ジャンプ過程に対しても結果が適用可能である。これは導出された$\beta$に関する条件のもとで成立する。
• 有限活性仮定に依存しないように、区間分解とジャンプ回数のモーメント推定を用いることで、先行研究よりも広範な適用可能性を実現する。