[論文レビュー] Smooth loop stacks of differentiable stacks and gerbes

David Roberts, Raymond F. Vozzo|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、微分スタック $\mathcal{X}$ に対する $\sigma\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$ の滑らかな表現を提供する、円周からリー群ガロアに至るアナファンクターのフレシェ–リー群ガロアを導入する。主な貢献は、バンドルゲーブルのループスタックの構成である：多様体 $M$ 上のゲーブルの群ガロアにこの構成を適用することで、接続などの幾何構造を保ちながら、ループ空間 $LM$ 上の新しいバンドルゲーブルが得られる。

ABSTRACT

Résumé. Nous définissons un groupoïde de Fréchet-Lie Map(S^1,X) d'ana-foncteurs du cercle vers un groupoïde de Lie X. Ceci fournit une présentation du Hom-champ Hom(S^1,\cX), où \cX est le champ différentiable associé à X. Nous appliquons cette construction au groupoïde de Lie sous-jacent au `gerbe fibré' d'une variété différentiable M; le résultat est un gerbe fibré au-dessus de l'espace des lacets LM de M. Abstract. We define a Fréchet--Lie groupoid Map(S^1,X) of anafunctors from the circle into a Lie groupoid X. This provides a presentation of the Hom-stack Hom(S^1,\cX), where \cX is the differentiable stack associated to X. We apply this construction to the Lie groupoid underlying a bundle gerbe on a manifold M; the result is a bundle gerbe on the loop space LM of M.

研究の動機と目的

• 微分スタックのための滑らかで幾何的に適切なループスタックの構成を、フレシェ–リー群ガロアを用いて定義すること。
• トポロジカルまたは微分的空間の枠組みを超えて、微分幾何学をサポートするフレームワークにおいて、ループスタックの概念を拡張すること。
• バンドルゲーブルにこの構成を適用し、ループ空間 $LM$ 上に接続の構造を保つ新しいバンドルゲーブルを生成すること。
• バンドルゲーブルのループスタックが、ゲーブル構造を引き継ぎ、接続構造をサポートできることを確立すること。
• ループ空間の文脈において、ストリング 2-群ゲーブルのような高次の幾何的対象を研究する基盤を提供すること。

提案手法

• 円周 $S^1$ からリー群ガロア $X$ へのアナファンクターの群ガロア $\operatorname{Map}(S^1, X)$ を、群ガロアへの滑らかな写像を用いて定義する。
• この群ガロアが、$X$ に付随する微分スタック $\mathcal{X}$ のホムスタック $\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$ を滑らかに表現することを示し、スタック構造と整合する滑らかさを保証する。
• 多様体 $M$ 上のバンドルゲーブルの背後に隠れた群ガロアにこの構成を適用し、ループ空間 $LM$ 上の新たな群ガロアが得られることを示す。
• 特に局所的に自明な準同型と自明化被覆の存在を確認することで、得られた群ガロアが $LM$ 上のバンドルゲーブルであることを証明する。
• 引き戻しと $X^\mathbb{2}$ の作用を含む図式的推論を用いて、アーベル的ゲーブルのループスタックが $LM$ 上のアーベル的ゲーブルであることを示し、構造群は $LA$ である。
• この構成が積を同値関係を除いて保存することを活用し、ストリング群のような整合的微分的 2-群への拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元リー群ガロアを用いて、微分スタックのための滑らかなループスタック構成を定義できるか？
• RQ2 多様体 $M$ 上のバンドルゲーブルのループスタックは、ループ空間 $LM$ 上のゲーブル構造を引き継ぐか？
• RQ3 バンドルゲーブルの文脈において、このループスタック構成は接続や曲率といった幾何的データを保存できるか？
• RQ4 多様体 $M$ 上のアーベル的 $A$-ゲーブルのループスタックは、$LM$ 上の $LA$-ゲーブルか？
• RQ5 この構成は、ストリング 2-群のような高次構造の無限次元モデルに適用可能か？

主な発見

• 円周 $S^1$ からリー群ガロア $X$ へのアナファンクターの群ガロア $\operatorname{Map}(S^1, X)$ はフレシェ–リー群ガロアであり、$\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$ の滑らかな表現を提供する。
• 多様体 $M$ 上のバンドルゲーブルの群ガロアにこの構成を適用することで、$LM$ 上のバンドルゲーブルが得られ、ゲーブル構造が保たれる。
• アーベル的 $A$-ゲーブルのループスタックは $LM$ 上の $LA$-バンドルゲーブルである。これにより、ゲーブル構造がループ空間へ自然に持ち上がる。
• この構成は滑らかさ構造と整合するため、ループスタック上での partition of unity と滑らかな幾何的解析が可能である。
• この方法は、ストリング 2-群の BCSS モデルのような無限次元モデルに適用可能であり、$\mathbb{L}\operatorname{String}_G^{\text{BCSS}}$ が整合的微分的 2-群である可能性を示唆する。
• 結果として、ループゲーブル上での接続構造の定義と研究が可能となり、バンドルゲーブル理論がループ空間へ拡張可能であることが裏付けられる。