[論文レビュー] Internal categories, anafunctors and localisations

David Roberts|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、サイトにやや弱い条件が課された場合、内部カテゴリおよび群コホモロジーの2カテゴリにおける弱同値による双圏的局所化の標準的かつサイズ制御された構成が、アナファンクターによって与えられることを確立する。サイトに被覆に沿った基本変換が存在し、WISCを満たす場合、得られる局所化は局所的に本質的に小さいことが示され、スタック理論および高階圏論における既存の構成を統合・簡略化する。

ABSTRACT

In this article we review the theory of anafunctors introduced by Makkai and Bartels, and show that given a subcanonical site S, one can form a bicategorical localisation of various 2-categories of internal categories or groupoids at weak equivalences using anafunctors as 1-arrows. This unifies a number of proofs throughout the literature, using the fewest assumptions possible on S.

研究の動機と目的

• スタック理論における内部カテゴリおよび群コホモロジーの局所化の既存の構成を統合・簡略化すること。
• アナファンクターが双圏的局所化の標準的かつ計算的に取り扱いやすい構成を提供すること。
• そのような局所化が局所的に本質的に小さい条件を確立すること。選択公理の完全な利用を避ける。
• 選択公理を持たない圏、例えば構成的トポスや位相的サイトのような圏における、カテゴリの同値に関する古典的結果を内部設定に一般化すること。
• 超拡張サイトでは、一般の被覆族を直和による単一被覆に置き換えられることを示し、アナファンクター構成において一般性を失わないこと。

提案手法

• オブジェクト集合を被覆する完全忠実なファンクターを持つ、スパンとしてのアナファンクターを、分数の2圏における1-射として用いる。
• Pronkの2カテゴリ用の分数の計算を用いるが、一般のスパンの代わりにアナファンクターを用いることで構成を簡略化する。
• 基本変換条件を課す：前トポスの任意の被覆に対して、そのオブジェクト成分が被覆に等しい部分2圏内の完全忠実ファンクターが存在する。
• 局所的本質的小ささを保証する最小のサイズ仮定として、WISC（弱い被覆集合の初期集合）を導入する。
• 超拡張サイトを用いて、一般被覆族を余積により単一被覆に置き換えることで、前トポスを簡略化するが、得られるアナファンクター2圏に変更を加えない。
• 広義トポスにおけるスタックは、単一前トポスへの移行によって変わらないことを利用し、スタック的応用における簡略化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アナファンクターを用いて、選択公理を避ける形で、内部カテゴリの弱同値による局所化を構成できるか？
• RQ2 サイト(S, J)がどのような条件下で、アナファンクターの2圏が局所的に本質的に小さい局所化をもたらすか？
• RQ3 超拡張サイトの構造が、アナファンクターおよび関連する局所化の構成をどのように簡略化するか？
• RQ4 基本変換およびWISCが成り立つとき、内部カテゴリの2圏のJ同値による局所化は、アナファンクターの2圏と同値か？
• RQ5 超拡張サイトでは、一般の前トポスを単一前トポス（例えば被覆の直和）に置き換えられ、得られる局所化に変更がないか？

主な発見

• 基本変換が成り立つとき、アナファンクターはJ同値による内部カテゴリの局所化を表す well-behaved な2圏Cana(J)を形成する。
• C → Cana(J) の包含は、J同値のクラスにおける局所化であり、既存の文献における構成を統合・簡略化する。
• サイト(S, J)がWISCを満たすとき、局所化は局所的に本質的に小さくなる。これは、ホム圏が小さい圏と同値であることを意味する。
• 超拡張サイトでは、前トポスを単一前トポス⨿J（被覆の直和）に置き換えられ、同じアナファンクター2圏が得られる。
• 超拡張サイトにおける弱2ファンクターの関連スタックは、元の前トポスから⨿Jに移行しても変わらないため、スタック化が簡略化される。
• WISCはZF¬ACと独立であるため、選択公理が成立しないモデル（例えば、全射を被覆とするSet¬AC）においても、結果は成り立つ。