[論文レビュー] Smoothness of isometric flows on orbit spaces and applications to the theory of foliations

Marcos M. Alexandrino, Marco Radeschi|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、適切な等長作用の軌道空間 $M/K$ 上の連続等長フローが、必ず滑らかであり、$M$ 上の $K$-等長な滑らかなフローに引き上げられることを確立する。主な貢献は、このようなフローの滑らかさの証明であり、これは軌道型の foliation に対する Molino の予想を解決し、特異 Riemannian foliation への Myers-Steenrod 理論の拡張を確認する。

ABSTRACT

We prove here that given a proper isometric action $K imes M o M$ on a complete Riemannian manifold $M$ then every continuous isometric flow on the orbit space $M/K$ is smooth, i.e., it is the projection of an $K$-equivariant smooth flow on the manifold $M$. As a direct corollary we infer the smoothness of isometric actions on orbit spaces. Another relevant application of our result concerns Molino's conjecture, which states that the partition of a Riemannian manifold into the closures of the leaves of a singular Riemannian foliation is still a singular Riemannian foliation. We prove Molino's conjecture for the main class of foliations considered in his book, namely orbit-like foliations.

研究の動機と目的

• 適切な等長作用から生じる軌道空間 $M/K$ 上の連続等長フローの滑らかさを確立すること。
• 特異 Riemannian foliation における葉の閉包が、別の特異 Riemannian foliation を形成することを示す Molino の予想を解決すること。
• 軌道空間および特異 Riemannian foliation の設定に Myers-Steenrod 定理を一般化すること。
• 商空間上の等長フローを元の多様体上の等長的フローに滑らかに引き上げること。
• 適切な条件下で、軌道空間の等長群が Lie 群であることを確認すること。

提案手法

• 適切な等長作用の構造を用いて、$K$-不変な滑らかな関数の引き戻しにより、軌道空間 $M/K$ 上に滑らかさを定義する。
• 連続等長フローが $M$ 上の $K$-等長な滑らかなフローに引き上げられることを示すことにより、$M/K$ 上の連続等長フローが滑らかであることを証明する。
• 部分距離と Riemannian 商写像の理論を用いて、軌道空間の局所幾何を分析する。
• 特異 Riemannian foliation (SRF) 及びその葉空間の概念を用い、同調的作用からの結果を一般化する。
• 横断的幾何および等長変換を分析するため、正規空間上に計量 $\mathrm{g}_{\textsf{N}}$ を構成する。
• 相似変換と収束の議論を用いて、計量 $\tilde{g}_\lambda$ を $\mathrm{g}_{\textsf{N}}$ に関連づけ、等長性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な等長作用の軌道空間 $M/K$ 上の連続等長フローは、$M$ 上の滑らかな $K$-等長フローに引き上げられるか？
• RQ2 特異 Riemannian foliation の葉の閉包による Riemannian 多様体の分割は、別の特異 Riemannian foliation を形成するか？
• RQ3 適切な等長作用の軌道空間の等長群は、必ず Lie 群か？
• RQ4 $M/\mathcal{F}$ の等長変換は、葉空間における正規空間のファイバー構造を保存するか？
• RQ5 商空間上の等長作用の滑らかさは、商空間上のフローの滑らかさから導けるか？

主な発見

• 適切な等長作用の軌道空間 $M/K$ 上の任意の連続等長フローは滑らかであり、$M$ 上の $K$-等長な滑らかなフローに引き上げられる。
• 特異 Riemannian foliation の葉の閉包は、別の特異 Riemannian foliation を形成する。これは、軌道型の foliation に対する Molino の予想を確認する。
• 軌道空間の等長群は Lie 群である。これは、極限空間や Alexandrov 空間の等長群に関する結果を拡張する。
• $\textsf{N}/\mathcal{F}_{\textsf{N}}^0$ の等長変換は、計量射影 $\mathsf{p}_{Y^*}$ のファイバーを保存し、計量 $\mathrm{g}_{\textsf{N}}$ に関して等長変換を誘導する。
• 計量 $\mathrm{g}_{\textsf{N}}$ は、横断的幾何を保存し、スケーリングされた計量 $\tilde{g}_\lambda$ の滑らかな収束を可能にするように構成される。
• 特異ホロノミー擬群は $\textsf{N}/\mathcal{F}_{\textsf{N}}^0$ 上に等長的に作用し、その作用は $\mathsf{p}_{Y^*}$ のファイバー構造を保存する。