[論文レビュー] Isometries between leaf spaces

Marcos M. Alexandrino, Marco Radeschi|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異リーマン的foliationの葉空間間の等長写像が、2つの条件下で滑らかであることを確立している。すなわち、葉の余次元を保存する場合、または葉空間が境界を持たない場合である。主な結果は、正則な層における平均曲率およびラプラシアン構造の制御を通じて、等長写像が滑らかな写像に引き上げられることを示し、古典的なマイヤーズ–シュテンロッドの定理を軌道空間および特異リーマン的foliationへ一般化する。

ABSTRACT

In this paper we prove that an isometry between orbit spaces of two proper isometric actions is smooth if it preserves the codimension of the orbits or if the orbit spaces have no boundary. In other words, we generalize Myers-Steenrod's theorem for orbit spaces. These results are proved in the more general context of singular Riemannian foliations.

研究の動機と目的

• 特異リーマン的foliationの葉空間間の等長写像が滑らかである条件を特定すること。
• リーマン多様体上の等長写像と滑らか構造の関係を示す古典的マイヤーズ–シュテンロッドの定理を、多様体でない商空間へ拡張すること。
• 特に、適切な等長群作用や特異foliationの文脈において、軌道空間上の計量構造が滑らか構造を一意に決定するかという未解決問題に取り組むこと。
• このような商空間間の等長写像が滑らかであるための十分条件を提示すること、特に、商空間が軌道多様体や多様体でない場合でも有効であるようにすること。

提案手法

• 閉じた葉を持つ特異リーマン的foliation（SRF）の枠組みを用い、群作用を超える一般化を図る。
• シュバルツの商空間上の滑らか構造に一致するように、滑らか基本関数の引き戻しを介して、葉空間間の写像の滑らかさを定義する。
• 正則層におけるラプラシアンおよび平均曲率ベクトル場の解析を通じて、余次元を保存するか、境界を持たない葉空間上で作用する等長写像が滑らかな写像に引き上げられることを証明する。
• 等長写像による滑らか基本関数の引き戻しが弱いラプラシアン方程式を満たすという事実を活用し、余次元≥2の特異集合においてもその性質が保たれることを示す。
• 楕円型偏微分方程式の正則性理論を応用し、低余次元特異点を含む領域でも引き戻し関数が滑らかであることを結論づける。
• グリーンの恒等式を用い、特異集合の近傍による近似を組み合わせることで、点でのラプラシアン恒等式を全多様体上で弱解へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異リーマン的foliationの葉空間間の等長写像が滑らかである条件は何か？
• RQ2 マイヤーズ–シュテンロッドの定理は、多様体でも軌道多様体でもない軌道空間へ拡張可能か？
• RQ3 葉の余次元を保存することは、葉空間間の等長写像の滑らかさを保証するか？
• RQ4 葉空間に境界がないことは、等長写像の滑らかさを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 正則層における平均曲率ベクトル場は、葉空間間の等長写像の滑らかさにどのように影響するか？

主な発見

• 閉じた葉を持つ2つの特異リーマン的foliationの葉空間間の等長写像は、葉の余次元を保存する場合、滑らかである。
• 葉空間が境界を持たない場合、余次元の保存がなくても、そのような葉空間間の任意の等長写像は滑らかである。
• 証明の根幹は、等長写像による滑らか基本関数の引き戻しが弱いラプラシアン方程式を満たすことを示し、楕円型正則性により滑らかさが導かれる点にある。
• 滑らかさの結果が成り立つためには、正則層における平均曲率ベクトル場が等長写像で保存されなければならない。これにより、ラプラシアン構造の整合性が保証される。
• 正則層の補集合は余次元が2以上であるため、積分と近似を用いて点での恒等式を弱解へ拡張できる。
• この結果は、等長的軌道多様体がシュバルツの意味で微分同相であることを示し、軌道多様体の古典的微分同相の概念を回復する。