[論文レビュー] Smoothness of Kuranishi atlases on Gromov-Witten moduli spaces

Robert Castellano|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Genus zero $J$-擬正則曲線のGromov-Wittenモジュライ空間が、任意の仮想次元に対して仛仮想基本類を構成可能な $C^1$ 層付き滑らかさ（C^1 SS）Kuranishiアトラスを有することを確立する。著者らは、Gluingパラメータに関して $C^1$ であることを示すより強い $C^1$ Gluing定理を証明することで、McDuffとWehrheimのKuranishiアトラス枠組みにおける主要な解析的障害を解消し、仮想次元が0でない場合にも適用可能に拡張する。

ABSTRACT

Kuranishi atlases were introduced by McDuff and Wehrheim to build a virtual fundamental class on moduli spaces of J-holomorphic curves and resolve some of the challenges in this field. This paper considers Gromov-Witten moduli spaces and shows they admit a smooth enough Kuranishi atlas to be able to define a Gromov-Witten virtual fundamental class in any virtual dimension. The key step for this result is the proof of a stronger gluing theorem.

研究の動機と目的

• Gromov-Wittenモジュライ空間におけるKuranishiアトラスの滑らかさの欠如を解消し、これまでは仮想次元が0でのみ仛仮想基本類が定義可能であった状況を改善すること。
• Kuranishiアトラス枠組みを、任意の仮想次元で仛仮想基本類を構成可能にするように拡張すること。
• Genus zero Deligne-Mumford空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}$ が、アトラスと整合する $C^1$ 層付き滑らかさを有することを確立すること。
• J-擬正則曲線モジュライ空間の文脈において、Gluing写像のより強い $C^1$ Gluing定理を証明すること。
• Kontsevich-Manin公理を満たすホモロジー的制約を伴うGenus zero Gromov-Witten不変量の定義を可能にする。

提案手法

• Gluing変数を $\widetilde{\lambda} = \lambda |\lambda|^\varepsilon$ と再パrametrizationすることで、$\lambda = 0$ における $C^1$ での微分可能性を達成する。ここで $\lambda$ は複素Gluingパラメータである。
• 標準的なGluingパラメータ $s = R^{-2/p}$ を $s^{1+\varepsilon}$ に置き換えることで、原点における有界な微分と $C^1$ 正則性を保証する。
• Banach空間設定においてGluing写像に対して陰関数定理を適用し、$L^p$ および $W^{1,p}$ 空間における導関数とノルムの境界の精密な推定を行う。
• Deligne-Mumford空間における交比座標を用いて、$\overline{\mathcal{M}}_{0,k}$ 上に $C^1$ 滑らかさを持つ構造 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}^{\text{new}}$ を定義し、Kuranishiアトラスと整合させる。
• $\mathrm{Gluing}$写像の導関数の $W^{1,p}$ ノルムを $C_9 \frac{1}{R_0} \frac{1}{(\delta R_0)^{2/p}}$ で上から抑え、$R_0 \to \infty$ のとき一様に減衰することを示し、$C^1$ 正則性を確認する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}(A,J)$ 上にすべての構造写像（特に $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}^{\text{new}}$ への忘却写像）が $C^1$ 層付き滑らかであることを保証することで、$C^1$ SS Kuranishiアトラスを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の仮想次元に対して、Genus zero Gromov-Wittenモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}(A,J)$ 上に $C^1$ 層付き滑らかさを持つKuranishiアトラスを構成可能か？
• RQ2 Gluingパラメータに関して、Gromov-Witten設定におけるGluing写像は、$\lambda = 0$ における特異性にもかかわらず $C^1$ 滑らかか？
• RQ3 Deligne-Mumford空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}$ は、Kuranishiアトラスと整合する $C^1$ 層付き滑らかさを持つ構造を有するか？
• RQ4 標準的なGluing定理 [MS12] を、Gluingパラメータの原点におけるGluing写像の $C^1$ 微分可能性を保証するように強化可能か？
• RQ5 Kuranishiアトラス枠組みは、仮想次元が0でない場合の仛仮想基本類の構成を可能にするように拡張可能か？

主な発見

• Genus zero Gromov-Wittenモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}(A,J)$ は、任意の仮想次元に対して、$d = 2n + 2c_1(A) + 2k - 6$ の $d$ 次元で、向き付け可能で弱い $C^1$ SS Kuranishiアトラスを有する。
• Deligne-Mumford空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}$ は、アトラスと整合する $C^1$ 層付き滑らかさ $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}^{\text{new}}$ を有し、これにより忘却写像 $U \to \overline{\mathcal{M}}_{0,k}^{\text{new}}$ が $C^1$ SS となる。
• 新たな $C^1$ Gluing定理が証明された：Gluing写像はGluingパラメータ $\lambda$ に関して $C^1$ であり、$R_0 \to \infty$ のとき一様に有界な導関数を持つ。これにより、主要な解析的障害が解消された。
• $\mathrm{Gluing}$写像の導関数の $W^{1,p}$ ノルムは $C_9 \frac{1}{R_0} \frac{1}{(\delta R_0)^{2/p}}$ で上から抑えられ、$R_0 \to \infty$ のとき減衰する。これにより $C^1$ 正則性が裏付けられた。
• $\varepsilon > 0$ を用いて $\widetilde{\lambda} = \lambda |\lambda|^\varepsilon$ とGluingパラメータを再パラメータ化することで、元の写像が $\lambda \neq 0$ のときのみ滑らかであっても、$\lambda = 0$ における $C^1$ 微分可能性が保証される。
• 本構成により、Kontsevich-Manin公理を満たすホモロジー的制約を伴うGenus zero Gromov-Witten不変量の定義が可能となり、後続の研究 [Cas] で示された。