[論文レビュー] $SO(3)$-Floer homology of 3-manifolds with boundary 1

Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$SO(3)$-ゲージ理論的フローリングホモロジーとラグランジュフローリングホモロジーを$A_{\infty}$-ファンクター構造を通じて結びつけることにより、境界を持つ3次元多様体に対する$SO(3)$-フローリングホモロジー枠組みを確立する。非自明な$SO(3)$-バンドルを有する3次元多様体の相対的フローリングホモロジーが、その境界のモジュライ空間のラグランジュフローリングホモロジーに同型であることを証明し、$w_2$が非自明な$SO(3)$-バンドルに対するアティヤ＝フラワー予想のバージョンを実現する。

ABSTRACT

In this paper the author discuss the relation between Lagrangian Floer homology and Gauge-theory (Donaldson theory) Floer homology. It can be regarded as a version of Atiyah-Floer type conjecture in the case of $SO(3)$-bundle with non-trivial second Stiefel-Whitney class. This is a first of a series of papers, where we describe the main results and geometric and algebraic parts of the proof. The half of analytic detail was in [Fu5] which was published in 1998. The other half will appear in subsequent papers.

研究の動機と目的

• 境界を持つ3次元多様体に対して、ゲージ理論的$SO(3)$-フローリングホモロジーとラグランジュフローリングホモロジーの間の対応を確立すること。
• 非自明な$w_2$を有する$SO(3)$-ケースにおいて、埋め込まれたラグランジュモジュライ空間のための正規化コチェーンを構成することにより、アティヤ＝フラワー予想を解決すること。
• フカヤおよびアカホ＝ジョイスの$A_\infty$-ファンクター枠組みを、平坦接続から生じる特異なシンプレクティック空間における非自明な埋め込みラグランジュ部分多様体を含むように一般化すること。
• ストリップの収縮や図8型バブル解析といった困難な解析的手法を、コボルディズムに基づく方法に置き換えることにより、接合同型の証明を簡略化すること。

提案手法

• 境界を持つ3次元多様体から、チェーン複体の圏$\mathscr{CH}$へのフィルター付き$A_\infty$-ファンクター$\mathcal{HF}_{(M,\mathcal{E}_M)}: \mathscr{FUK}(R(\Sigma)) \to \mathscr{CH}$を構成する。
• 無限次元のモジュライ空間を取り扱い、係数を含むフローリングホモロジーを定義するために、ノビコフ環$\Lambda^{{\mathbb{Z}}_2}_0$を用いる。
• 埋め込みラグランジュ部分多様体$R(M) \subset R(\Sigma)$に対して、正規化コチェーン$b_M$を定義し、FOOOおよびアカホ＝ジョイスの意味で非障害的であることを保証する。
• 2つの3次元多様体が境界を共有して接合されるとき、それらの相対的フローリングホモロジーの間のチェーン写像が誘導され、対応する境界ラグランジュ部分多様体のラグランジュフローリングホモロジーに同型であることを証明する。
• 特異点（例えば図8型バブルや断熱極限）の解析を避けるために、コボルディズム法を適用する。
• モノトニックおよびコンパクトネスの定理（[Fu5] より）を用いて、擬全純曲線を制御し、フローリング微分の定義が適切に行われることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な$w_2$-類を有する$SO(3)$-ケースにおいて、ラグランジュフローリング理論的構成を用いてアティヤ＝フラワー予想を拡張できるか？
• RQ2 境界を持つ3次元多様体上の平坦接続のモジュライ空間は、境界モジュライ空間内の埋め込みラグランジュ部分多様体として非障害的か？
• RQ3 2つの3次元多様体が共通の境界に沿って接合されるとき、ゲージ理論的フローリングホモロジーとラグランジュフローリングホモロジーの間に自然な同型が誘導されるか？
• RQ4 ストリップの収縮や図8型バブルといった困難な解析的問題を、一般性を失わずにコボルディズム的議論に置き換えられるか？
• RQ5 $R(M)$の正規化コチェーン$b_M$は選択に依存せず、ゲージ同値に関して不変か？

主な発見

• ラグランジュ部分多様体$R(M)$は$R(\Sigma)$において非障害的であり、正規化コチェーン$b_M$が一意に存在し、ゲージ不変かつペア$(M, \mathcal{E}_M)$にのみ依存する。
• 接合された3次元多様体$M = M_1 \cup_{-M_2} \Sigma$に対して、$HF(M,\mathcal{E};\Lambda_0^{{\mathbb{Z}}_2}) \cong HF((R(M_1),b_{M_1}),(R(M_2),b_{M_2}))$という自然な同型が存在し、$SO(3)$-アティヤ＝フラワー予想のバージョンを確立する。
• $R(M)$が$R(\Sigma)$に埋め込まれる場合、正規化コチェーンは消える：$b_M = 0$となり、古典的なラグランジュフローリングホモロジーの設定が回復される。
• $A_\infty$-ファンクター$\mathcal{HF}_{(M,\mathcal{E}_M)}$は適切に定義されており、そのホモトピー型は$(M, \mathcal{E}_M)$の不変量である。これにより、ゲージ理論とシンプレクティック位相幾何学との間のファンクター的リンクが得られる。
• 解析的困難（図8型バブルや断熱極限の解析）を避けるためにコボルディズム法を用い、モノトニック性により代数的制御が可能になる。
• この構成は、閉じた3次元多様体における標準的な$SO(3)$-フローリングホモロジーと整合し、$M_1 = M_2 = \Sigma \times [0,1]$の場合にドストォグラウ＝サラモンの結果を回復する。