[論文レビュー] Sobolev spaces of isometric immersions of arbitrary dimension and codimension

Robert L. Jerrard, Mohammad Reza Pakzad|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$n$次元の平坦な領域から$\mathbb{R}^{n+k}$への$W^{2,p}_{\text{loc}}$等長埋め込みについて、$p \geq \min\{2k, n\}$のとき、$C^{1}_{\text{loc}}$正則性および可展性（developability）を確立する。これは$C^2$未満のソボレフ空間への剛性結果の拡張である。このような埋め込みは局所的に直線で構成される面（可展面）であることが示され、ヘッセ行列のランクが$k$未満に抑えられるスカラー関数に対しても同様の剛性が得られる。特に、退化したモンジュ＝アンペール方程式$\det D^2u = 0$の解に対しても成立する。主な貢献は、任意の次元および余次元において剛性の鋭い正則性閾値を特定することにある。

ABSTRACT

We prove the $C^{1}$ regularity and developability of $W^{2,p}$ isometric immersions of $n$-dimensional flat domains into ${\mathbb R}^{n+k}$ where $p\ge \min\{2k, n\}$. Another parallel consequence of our methods is a similar regularity and rigidity result for the $W^{2,n}$ solutions of the degenerate Monge-Ampère equations in $n$ dimensions. The analysis also applies to the situations when the degeneracy is extended to $(k+1) imes (k+1)$ minors of the Hessian matrix and the solution is $W^{2,p}$, with $p\ge \min\{2k, n\}$.

研究の動機と目的

• 等長埋め込みにおける剛性が、ナッシュ＝クイパーのフレキシビリティから可展性へと移行する臨界正則性閾値を特定すること。
• ソボレフ正則性を用いて、高次元の平坦領域および高余次元への可展面理論を拡張すること。
• ヘッセ行列のランクがほとんど everywhere で$k$未満に抑えられるスカラー関数$u$について、剛性および正則性を確立すること。特に、退化したモンジュ＝アンペール方程式$\det D^2u = 0$の文脈において。
• $W^{2,p}_{\text{loc}}$等長埋め込みが$p \geq \min\{2k,n\}$のとき、任意の余次元において局所的に$C^1$かつ可展的であることを証明すること。

提案手法

• $W^{2,p}_{\text{loc}}$正則性とヘッセ行列の構造を用いて、ソボレフ空間における2次微分のランクを分析する。
• $p$-容量および擬連続性を含む幾何的測度論の技法を適用し、特異集合のサイズを制御する。
• 余次元に関する帰納法と葉層化の議論を用いて、局所的可展性を証明する。その際、埋め込みがほとんど everywhere で定数となる平坦なアフィン平面の存在を根拠とする。
• 密度のある弱い平坦な葉層化の概念を用い、埋め込みの挙動とヘッセ行列のランクを結びつける。
• 導関数の等高線集合の連結成分とその射影を用いた、一般化された弱い可展性の概念を用いる。
• 容量推定と等高線集合の構造を用いた背理法により、吹き出し極限$\overline{w}$の連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元および余次元において、$W^{2,p}$等長埋め込みが$C^1_{\text{loc}}$正則かつ可展的であるための鋭い正則性閾値$p$は何か？
• RQ2 $k < n$のとき、$C^2$から$W^{2,p}$（$p < 2$）への$\mathbb{R}^{n+k}$への等長埋め込みの剛性は拡張可能か？
• RQ3 ほとんど everywhere で$\text{rank}(D^2u) \leq k$であるという条件が、スカラー関数$u$の正則性および可展性にどの程度まで影響を与えるか？
• RQ4 退化したモンジュ＝アンペール方程式$\det D^2u = 0$は、$p \geq \min\{2(n-1), n\}$を満たす$W^{2,p}_{\text{loc}}$解$u$に対して可展性を示唆するか？
• RQ5 特異集合の$p$-容量は、弱い可展性の文脈における吹き出し極限$\overline{w}$の正則性とどのように関係するか？

主な発見

• $p \geq \min\{2k, n\}$のとき、$U: \Omega \to \mathbb{R}^{n+k}$を$W^{2,p}_{\text{loc}}$等長埋め込みとすると、その埋め込みは$C^1_{\text{loc}}$正則であり、かつ局所的に可展的である。これは、第一基本形式の方向に直線で構成される葉層を持つことを意味する。
• この結果は任意の$n$および$k$に対して成り立ち、古典的な可展性結果（$n=2$, $k=1$）を高次元および高余次元へ一般化する。
• 本稿では、ほとんど everywhere で$\text{rank}(D^2u) \leq k$を満たすスカラー関数$u \in W^{2,p}_{\text{loc}}(\Omega)$が、同じ$p$-閾値のもとで$C^1_{\text{loc}}$正則かつ可展的であることを証明する。これは、ヘッセ行列のランク制約に対する剛性の拡張である。
• 退化したモンジュ＝アンペール方程式$\det D^2u = 0$は、$p \geq \min\{2(n-1), n\}$のとき、$u \in W^{2,p}_{\text{loc}}(\Omega)$に対して$C^1_{\text{loc}}$正則性および可展性を示す。これは$k = n-1$に対応する。
• 証明は、$p$-容量を用いた背理法に依拠している。もし吹き出し極限$\overline{w}$が不連続であったならば、平坦な方向における球の容量は0になるが、これは次元$d \geq n - 2k + 1 > n - p$に反する。
• $\overline{w}$の集合$F_{\geq j}$上での連続性は、帰納法と$p$-擬連続性の利用により確立され、異なる等高線集合に沿った列の極限が一貫して収束することが示される。