[論文レビュー] Soft \beta-Open Sets And Their Applications

Yunus Yumak, Aynur Keskin Kaymakçı|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ソフト位相空間におけるソフトβ開集合とソフトβ閉集合を導入し、ソフトβ連続性、ソフトβ不連続写像、およびソフトβ位相同型写像を定義し、すべてのソフトβ不連続双射からなる集合 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ が合成に関して群をなすことを証明している。これはソフト位相同型写像の理論を拡張し、ソフト位相に新たな構造的洞察をもたらす。

ABSTRACT

First of all, we focused soft {\\beta}-open sets and soft {\\beta}-closed sets over the soft topological space and investigated some properties of them. Secondly, we defined the concepts soft {\\beta}-continuity, soft {\\beta}-irresolute and soft {\\beta}-homeomorphism on soft topological spaces. We also obtained some characterizations of these mappings. Finally, we observed that the collection S{\\beta}r-h(X,{\ au},E) was a soft group.

研究の動機と目的

• ソフト位相空間におけるソフトβ開集合およびソフトβ閉集合を定義し、調査すること。
• ソフトβ連続性、ソフトβ不連続写像、およびソフトβ位相同型写像を導入し、特徴づけること。
• ソフト位相空間上のすべてのソフトβ不連続双射の集合が合成に関して群をなすことの確立。
• β構造を用いてソフト位相同型写像群の概念を一般化すること。

提案手法

• ソフト閉包内のソフト内部のソフト集合として定義されるソフトβ開集合を定義する。
• ソフトβ開集合の逆像がソフトβ開であることで、ソフトβ連続性を定義する。
• ソフトβ開集合の逆像がソフトβ開であるような写像として、ソフトβ不連続写像を定義する。
• 双射かつ逆写像がソフトβ不連続であるような写像として、ソフトβ位相同型写像を定義する。
• $ (X,\tau,E) $ からそれ自身へのすべてのソフトβ不連続双射とその逆写像がソフトβ不連続であるような集合 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ を構成する。
• 集合 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ が合成に関して閉じており、単位元を含み、逆元についても閉じていること、したがって群をなすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソフト位相空間におけるソフトβ開集合およびソフトβ閉集合の性質は何か？
• RQ2 ソフト位相空間において、ソフトβ連続性およびソフトβ不連続写像はどのように定義され、特徴づけられるか？
• RQ3 ソフト位相空間上のソフトβ不連続双射の集合は、合成および逆元について閉じており、群をなすか？
• RQ4 集合 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ とソフト位相同型写像群 $ S\text{-}h(X,\tau,E) $ との関係は何か？
• RQ5 空間間のソフトβ不連続位相同型写像によって、このような群間の同型写像を誘導できるか？

主な発見

• ソフト位相空間 $ (X,\tau,E) $ 上のすべてのソフトβ不連続双射からなる集合 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ は関数の合成に関して群をなす。
• すべてのソフト位相同型写像はソフトβ不連続写像でもあるため、$ S\text{-}h(X,\tau,E) \subseteq S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ が成り立つ。
• 群 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ は合成および逆元について閉じており、すべての群公理を満たす。
• ソフト位相同型写像の群 $ S\text{-}h(X,\tau,E) $ は、群 $ S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) $ の部分群である。
• 任意のソフトβ不連続位相同型写像 $ f: (X,\tau,E) \to (Y,\tau',E) $ に対して、共役によって定義される群同型写像 $ f_*: S\beta r\text{-}h(X,\tau,E) \to S\beta r\text{-}h(Y,\tau',E) $ が存在する。
• 写像 $ f \mapsto f_* $ は函子的である：$ (g \circ f)_* = g_* \circ f_* $ が成り立ち、$ (1_X)_* = 1 $、すなわち恒等同型写像となる。