[論文レビュー] Soft topology redefined

Moumita Chiney, S. K. Samanta|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分配的でない基本的な和集合および積集合演算を用いてソフト位相を再定義し、Nazの位相とは異なる新規なソフト位相フレームワークを提示する。主な貢献は、ソフト要素と基本的補集合を用いた新しいソフト位相であり、排中律が成立しない。これはソフト集合に基づく位相的構造の非古典的基礎を提供する。

ABSTRACT

In this paper we give a new definition of soft topology using elementary union and elementary intersection although these operations are not distributive. Also we have shown that this soft topology is different from Naz's soft topology and studied some basic properties of this new type of soft topology. Here we use elementary complement of soft sets, though law of excluded middle is not valid in general for this type of complementation.

研究の動機と目的

• 非分配的な基本的和集合および積集合に基づくソフト位相の新しい定義を提示すること。
• 標準的集合論的演算を用いるNazのソフト位相とは異なり、本稿で提案するソフト位相がクリップス位相として解釈可能である点を明確にすること。
• ソフト要素と基本的補集合を用いて、この新しいソフト位相空間の基礎的性質を調査すること。
• このフレームワークにおける排中律の不成立を検討し、非古典論理的側面を強調すること。
• 新しい位相的構造内でのソフト分離公理（正則性および正規性）を確立すること。

提案手法

• 共通のパラメータ集合A上のソフト集合に対して、標準的な集合論的演算ではなく、基本的和集合および積集合演算を用いてソフト位相を定義すること。
• パラメータ集合Aから普遍集合Xへの関数としてのソフト要素を導入し、点ごとの包含関係によるソフト属する関係を定義すること。
• 標準的な相対補集合ではなく、基本的補集合を用いてソフト閉集合を定義し、非古典的論理的挙動を生じさせること。
• ソフト要素およびその近傍に基づく閉包作用素を確立し、ソフト正則およびソフト正規空間を定義すること。
• 本稿の位相がNazの位相と同値でないことを示す例を構成し、特に正則性などの主要な位相的性質が古典的近傍条件を意味しないことを示すこと。
• ソフト要素と開ソフト集合を用いてソフト分離公理（ソフトT1、ソフト正則、ソフト正規）を定義し、閉包をソフト要素の近傍を用いて定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分配的な基本的和集合および積集合演算を用いて、ソフト位相をどのように再定義できるか？
• RQ2 提案されたソフト位相は、位相的構造および解釈の観点からNazのソフト位相とどのように異なるか？
• RQ3 ソフト集合における基本的補集合の使用が、特に排中律の不成立に与える影響は何か？
• RQ4 この新しいフレームワーク内でのソフト正則性およびソフト正規性は意味的に定義可能か？また、近傍条件とはどのように関係するか？
• RQ5 新しい公理（例：ソフト正則性）は、ソフト設定における古典的位相的性質をどの程度含意するか、またはそれらとどのように異なるか？

主な発見

• 提案されたソフト位相は、Nazのソフト位相とは本質的に異なり、クリップス位相に同値でない上に、非分配的演算に依存している。
• このフレームワークにおける基本的補集合は、排中律を破壊する。一般に、ソフト集合(F,A)に対して、(F,A) ∪ (F,A)^C ≠ (X̃,A) が成り立たない。
• ソフト正則性は、(V,A) ⊆ (U,A) および (V,A) ∩ (W,A) = (Φ,A) を満たす近傍の存在として特徴づけられる。ここで(W,A)は(V,A)の閉包の補集合である。
• 近傍の細分に関する正則性条件の逆は成り立たない。例6.9で示されるように、ソフト正則空間であっても近傍条件を満たさないことがある。
• ソフト正規性は、互いに交わらないソフト閉集合を分離する互いに交わらない開ソフト集合の存在として特徴づけられる。また、条件F ⊆ V ⊆ cl(V) ⊆ U がソフト正規性を意味するが、逆は成り立たない。
• 例6.12は、ソフト正規空間であっても近傍細分条件を満たさないことがあることを示しており、正規性特徴づけの逆が成り立たないことを確認している。