[論文レビュー] On soft linear spaces and soft normed linear spaces

Sujoy Das, Pinaki Majumdar+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 16被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、関数解析へのソフト集合理論の拡張により、ソフト線形空間およびソフトノルム線形空間を導入し、ソフトベクトル、ソフトノルムを定義するとともに、完備性、同値ノルム、凸ソフト集合の性質を検討する。主な貢献は、ソフトノルム線形空間の基礎的性質の確立であり、特に、任意のソフトノルム線形空間がソフト距離空間であること、およびソフト球面や凸ソフト集合の閉包が凸であることを示している。

ABSTRACT

In this paper an idea of soft linear spaces and soft norm on soft linear spaces are given and some of their properties are studied. Soft vectors in soft linear spaces are introduced and their properties are studied. Completeness of soft normed linear space is also studied and equivalent soft norms and convex soft sets are studied in soft normed linear space settings.

研究の動機と目的

• ソフト集合理論を関数解析へ拡張するため、ソフト線形空間を導入すること。
• ソフトベクトルを定義し、それらがソフト線形空間内での性質を検討すること。
• ソフトノルムを導入し、その性質（完備性や同値性を含む）を調査すること。
• ソフトノルム線形空間の文脈における凸ソフト集合を検討すること。
• ソフトノルム線形空間とソフト距離空間との間の関係を確立すること。

提案手法

• 宇宙上のパラメータ族としてのソフト線形空間を定義し、ソフト加法やスカラー乗法などの演算を導入する。
• パラメータ集合から宇宙への関数としてのソフトベクトルを導入し、成分ごとの演算を定義する。
• ソフトノルムを、ノルム公理を満たすソフト実数への写像として定義する。
• 任意のソフトノルム線形空間が、標準的な距離式によってソフト距離を誘導することを証明する。
• コーシーのソフト列を用いた完備性の検討と、ソフトノルム空間内での収束の性質を分析する。
• ソフト実数パラメータと線分の定義を用いて、同値ソフトノルムおよび凸ソフト集合を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソフト集合理論をどのように拡張すれば、ソフト線形空間のような線形代数的構造を定義できるか？
• RQ2 ソフトベクトルの定義的性質は何か？ また、ソフト演算の下での挙動はいかなるものか？
• RQ3 ソフト線形空間にソフトノルムをどのように定義できるか？ そして、その距離構造への影響は何か？
• RQ4 ソフトノルム線形空間が完備であるための条件は何か？ これはソフトコーシー列とどのように関係するか？
• RQ5 ソフトノルム線形空間において、ソフト球面や凸ソフト集合の閉包は、それぞれ凸であるか？

主な発見

• 任意のソフトノルム線形空間は、標準的な距離式によって誘導されるソフト距離を備えるため、ソフト距離空間である。
• ソフトノルム線形空間におけるソフト球面は、ソフト凸結合に三角不等式を適用することで、凸ソフト集合であることが示された。
• ソフトノルム線形空間における任意の凸ソフト集合の閉包もまた凸であるため、位相的閉包においても凸性が保たれる。
• ソフトノルム線形空間における任意の凸ソフト集合の族の共通部分集合も凸であるため、交わりにおいても安定性が保証される。
• ソフトノルムは同値である可能性があり、このような同値性は、ソフトノルム線形空間における位相的および距離的性質を保存する。
• ソフト線形空間内のソフトベクトルは成分ごとの線形性を満たし、ソフトスカラー乗法とも整合性を示すため、パrametrizedなベクトル構造を形成する。