[論文レビュー] Soliton-like Solutions for Nonlinear Schroedinger Equation with Variable Quadratic Hamiltonians

Erwin Suazo, Sergeĭ K. Suslov|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 39被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、一般化された調和振動子の完全可積分性を活用して、時間的・空間的変動を示す2次ハミルトニアンを有する非線形シュレーディンガー方程式に対する1ソリトン解を構成する統一的解析的フレームワークを提示する。ソリトンの力学的挙動は、加速度を伴う古典的粒子運動に類似した線形問題によって完全に決定され、自己相似的形状は分散、ポテンシャル、非線形性のバランスによって生じる。これにより、ヤコビ楕円関数およびペイントレべ II 透明関数を含む解が得られ、非線形光学およびボーズ＝アインシュタイン凝縮体と関連する。

ABSTRACT

We construct one soliton solutions for the nonlinear Schroedinger equation with variable quadratic Hamiltonians in a unified form by taking advantage of a complete (super) integrability of generalized harmonic oscillators. The soliton wave evolution in external fields with variable quadratic potentials is totally determined by the linear problem, like motion of a classical particle with acceleration, and the (self-similar) soliton shape is due to a subtle balance between the linear Hamiltonian (dispersion and potential) and nonlinearity in the Schroedinger equation by the standards of soliton theory. Most linear (hypergeometric, Bessel) and a few nonlinear (Jacobian elliptic, second Painleve transcendental) classical special functions of mathematical physics are linked together through these solutions, thus providing a variety of nonlinear integrable cases. Examples include bright and dark solitons, and Jacobi elliptic and second Painleve transcendental solutions for several variable Hamiltonians that are important for current research in nonlinear optics and Bose-Einstein condensation. The Feshbach resonance matter wave soliton management is briefly discussed from this new perspective.

研究の動機と目的

• 時間的・空間的変動を示す2次ハミルトニアンを有する非線形シュレーディンガー方程式に対する1ソリトン解の統一的解析的表現を構築すること。
• 外部場に伴う可変ポテンシャル下でのソリトン進化が、加速度を伴う古典的粒子運動に類似した下位線形問題によって完全に支配されることを示すこと。
• 超幾何関数、ベッセル関数、ヤコビ楕円関数、ペイントレべ II 透明関数といった多様な特殊関数がソリトン解を通じて結びつくことを確立すること。
• 明示的な解として、明るいソリトン、暗黒ソリトン、ペイントレべ II 型プロファイルを提供し、非線形光学および超低温原子系における最近の研究に関連する。
• 物質波ソリトンにおけるフェシュバッハ共鳴管理にこのフレームワークを拡張し、トラップ内ボーズ＝アインシュタイン凝縮体におけるソリトン制御に関する新たな知見を提供すること。

提案手法

• 一般化された調和振動子の完全（超）可積分性を活用し、可変2次ハミルトニアンを有する非線形シュレーディンガー方程式に対する正確なソリトン的解を導出する。
• ゲージ変換と時間依存のアンザッツを用いて、非線形問題を係数が時間に依存する線形シュレーディンガー方程式に還元する。
• 自己相似構造から生じる非線形常微分方程式（例：第二ペイントレべ方程式、楕円関数方程式）の解としてソリトン形状を導出する。
• 解の完全な形を $\psi(x,t) = \frac{e^{i\phi}}{\sqrt{\mu}} \exp\left(i(\alpha x^2 + \beta xy + \gamma(y^2 - g_0) + \delta x + \varepsilon y + \kappa)\right) F(\beta x + 2\gamma y + \varepsilon)$ とし、$F$ が非線形方程式を満たすように構成する。
• 線形問題から導かれる常微分方程式系を用いて、時間依存係数 $\mu(t), \alpha(t), \beta(t), \gamma(t), \delta(t), \kappa(t)$ を解く。
• 具体的な物理的状況、例えば線形に不均一なプラズマやフェシュバッハ共鳴系にこの手法を適用し、明示的なパラメータ化とゲージ変換を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変2次ハミルトニアンを有する非線形シュレーディンガー方程式に対する1ソリトン解を、どのように体系的に構成できるか？
• RQ2 可変外部ポテンシャル下でのソリトン進化は、どの程度、古典的粒子運動に類似した下位線形問題によって支配されるか？
• RQ3 ヤコビ楕円関数やペイントレべ II 透明関数といった特殊関数が、可変ハミルトニアン下でのソリトン形状を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ4 このフレームワークを、フェシュバッハ共鳴を用いたボーズ＝アインシュタイン凝縮体におけるソリトン管理をモデル化するためにどのように適合できるか？
• RQ5 時間に依存する分散および非線形性を有する非自己同型非線形シュレーディンガー方程式に対して、自己相似的（ソリトン的）解が存在する条件は何か？

主な発見

• 可変2次ハミルトニアンの広いクラスに対して有効な、1ソリトン解の統一的解析的表現が導出された。解の構造は線形問題によって完全に決定される。
• ソリトンの時間的進化は一般化された調和振動子の力学によって完全に決定され、線形分散／ポテンシャルと非線形性のバランスによりソリトン形状が保存される。
• 明るいソリトン、暗黒ソリトンに加え、ヤコビ楕円関数およびペイントレべ II 透明関数で記述されるプロファイルを含む解が得られ、非線形光学および超低温原子系と関連する。
• $m=1$ の場合、解は非線形アイルリー関数 $A_k(\zeta)$ に簡略化され、第二ペイントレべ方程式を満たし、ソリトンプロファイルと整合する漸近的挙動を示す。
• $\alpha_0 = 0$ の極限では、$A$-ソリトンは一定速度で移動し、特定のパrameter領域において安定な伝播を示す。
• この手法はフェシュバッハ共鳴系におけるソリトン管理を成功裏にモデル化し、時間に依存する散乱長を可変ハミルトニアンフレームワークを用いて組み込むことができることを示した。