[論文レビュー] Solution to the Hidden Subgroup Problem for a Class of Noncommutative Groups

Demerson Nunes Gonçalves, Renato Portugal|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$p$ と $q$ が異なる奇素数で、$r,s$ が正の整数である条件下で、$ \mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ の非アーベル群に対する隠れた部分群問題（HSP）を多項式時間で解く量子アルゴリズムを提示する。条件は $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ である。アルゴリズムは、アーベル量子フーリエ変換と構造化された測定手順を用いて、HSPを巡回部分群の特定に還元し、成功確率が $1/2$ 以上となる。

ABSTRACT

The hidden subgroup problem (HSP) plays an important role in quantum computation, because many quantum algorithms that are exponentially faster than classical algorithms can be casted in the HSP structure. In this paper, we present a new polynomial-time quantum algorithm that solves the HSP over the group $\Z_{p^r} times \Z_{q^s}$, when $p^r/q= \up{poly}(\log p^r)$, where $p$, $q$ are any odd prime numbers and $r, s$ are any positive integers. To find the hidden subgroup, our algorithm uses the abelian quantum Fourier transform and a reduction procedure that simplifies the problem to find cyclic subgroups.

研究の動機と目的

• アーベル群やより単純な非アーベル群に対する既知の結果を拡張し、$\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ の非アーベル群クラスに対してHSPを効率的に解くこと。
• $\mathbb{Z}_p\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ および $\mathbb{Z}_N\rtimes\mathbb{Z}_q$ におけるHSPの従来の量子アルゴリズムを、$p^r$ および $q^s$ の高いべき乗を許容することで一般化すること。
• この群クラスにおけるHSPが、量子フーリエ変換を用いて巡回部分群の特定問題に還元できる条件を確立すること。
• 与えられたパrameter制約のもとで、多項式時間内に隠れた部分群を識別するための成功確率を $1/2$ 以上にすること。

提案手法

• 関数 $f$ が部分群を隠している周期的構造を抽出するために、$\mathbb{Z}_{p^r}$ 成分にアーベル量子フーリエ変換を適用する。
• 非アーベルHSPを、$t \leq s$ の巡回部分群の順序 $q^t$ を特定する問題に還元する手順を適用する。
• 測定後に制御ユニタリ操作 $U$ を適用し、隠れたパrameter $a$ と状態をエンタングルする。これは、$\mathbb{Z}_{q^{t-j}}$ 上での関数 $S(n)$ の単射性を利用している。
• パrameter $a$ をエンコードした状態に逆量子フーリエ変換を適用することで、各実行で確率 $q/p^r$ でその抽出が可能になる。
• 成功確率を $1/2$ 以上に高めるために、$O(\text{poly}(\log p^r))$ 回の繰り返しを実行する。
• 群の構造において $\alpha = u^{k}$ で $k = \frac{lp^{r-1}(p-1)}{q^t}$ と定義され、$\alpha^{q^t} \equiv 1 \pmod{p^r}$ かつ $\text{ord}(\alpha) = q^t$ が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ の下で、$\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ におけるHSPは多項式時間量子計算で効率的に解けるか？
• RQ2 この群クラスにおいて、非アーベルHSPはどのように巡回部分群の特定問題に還元できるか？
• RQ3 群が非アーベルであるにもかかわらず、アーベル量子フーリエ変換が隠れた部分群構造を抽出する際に果たす役割は何か？
• RQ4 なぜ、$t > 1$ の場合、主要な演算子 $U$ の非ユニタリ性のため、このアルゴリズムは一般化できないのか？
• RQ5 この手法は、非アーベルフーリエ変換を用いて、他の非アーベル群へどの程度拡張可能か？

主な発見

• $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ の条件下で、$\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ におけるHSPは多項式時間で解ける。これは、$r=1$ または $s=1$ の場合の従来の結果を一般化する。
• アルゴリズムは、HSPを順序 $q^t$ の巡回部分群の特定問題に還元するが、$t=1$ のみでユニタリ演算子 $U$ を構築して隠れたパrameter $a$ を抽出できる。
• 各実行で正しいパrameter $a$ を測定する成功確率は $q/p^r$ であり、$O(\text{poly}(\log p^r))$ 回の繰り返しにより、総合的な成功確率を $1/2$ 以上に高められる。
• 非アーベルフーリエ変換を必要とせず、アーベル量子フーリエ変換と測定に基づく還元のみを用いることで、アルゴリズムは目的を達成する。
• Baconら[10]（$s=1$ の場合）およびGonçalvesら[11]（$r=1$ の場合）の先行研究を統合し、同一の枠組みで両ケースを一般化する。
• $t > 1$ の場合、関数 $S(n)$ の単射性の欠如により、ユニタリ演算子 $U$ を構築できないため、アルゴリズムは $t=1$ の場合に限られる。