[論文レビュー] Solutions by radicals at singular values k_N from new class invariants for N \equiv 3 mod 8

David Broadhurst|ArXiv.org|Jul 18, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ のヒルベルト類体における新しいクラス不変量 $[f,g]$ を用いて、$N \equiv 3 \pmod{8}$ かつ 3 と互いに素な平方自由な $N$ に対して、特異値 $k_N$ を根号で表現する新規な手法を提示する。$g$ は指数的成長 $g = \alpha(N)\exp(\pi\sqrt{N}/48) + o(1)$ を示す非常に効率的な生成子であり、$h(-2317723) = 105$ である $N = 2317723$ に対して、最小多項式の計算を 90 ミリ秒で実行し、Pari-GP の二重エータ商法を上回る性能を示した。

ABSTRACT

For square-free $N\equiv3$ mod 8 and $N$ coprime to 3, I show how to reduce the singular value $k_N$ to radicals, using a novel pair $[f,g]$ of real numbers that are algebraic integers of the Hilbert class field of $Q(\sqrt{-N})$. One is a class invariant of modular level 48, with a growth $g=α(N)\exp(π\sqrt{N}/48)+o(1)$, where $α(N)\in[-\sqrt2,\sqrt2]$ is uniquely determined by the residue of $N$ modulo 64. Hence $g$ is a very economical generator of the class field. For prime $N\equiv3$ mod 4, I conjecture that the Chowla--Selberg formula provides an algebraic {\em unit} of the class field and determine its minimal polynomial for the 155 cases with $N<2000$. For N=2317723, with class number $h(-N)=105$, I compute the minimal polynomial of $g$ in 90 milliseconds. Its height is smaller than the {\em cube} root of the height of the generating polynomial found by the double eta-quotient method of {\em Pari-GP}. I reduce the complete elliptic integral $K_{2317723}$ to radicals and values of the $Γ$ function, by determining the Chowla--Selberg unit and solving the septic, quintic and cubic equations that generate sub-fields of the class field. I conclude that the residue 3 modulo 8, initially discarded in elliptic curve primality proving, outperforms the residue 7.

研究の動機と目的

• $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ のヒルベルト類体からの代数的整数を用いて、$N \equiv 3 \pmod{8}$ における特異値 $k_N$ を根号で表現する新しい手法を開発すること。
• Pari-GP の quadhilbert 手続きと比較して、より効率的にヒルベルト類体を生成するクラス不変量のペア $[f,g]$ を構築すること。
• $h(-2317723) = 105$ のような大きな類数に対して、クラス不変量 $g$ の最小多項式を検証・計算し、類体を生成する際の効率性を確認すること。
• 素数 $N \equiv 3 \pmod{4}$ に対して、チョウラ–セールバーゲンの公式がヒルベルト類体における代数的単数を特定する役割を果たすことを調査し、高精度計算によりその単数性を確認すること。

提案手法

• 本稿では、実代数的整数のペア $[f,g]$ をクラス不変量として新規に用い、$g$ はモジュラー位数 48 のクラス不変量であり、$g = \alpha(N)\exp(\pi\sqrt{N}/48) + o(1)$ という成長を示し、$\alpha(N) \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ は $N \mod 64$ によって定まる。
• チョウラ–セールバーゲンの公式を用いて、判別式 $-N$ の二進形式の同値類にわたるデデキンドエータ関数の積として $\Gamma$-値の積 $G_N$ を表現し、$N$ 個の $\Gamma$-値を個別に計算せずに高精度で $G_N$ を評価可能とした。
• 素数 $N \equiv 3 \pmod{4}$ に対して、$\lambda = \prod_{[a,b,c] \in H} a^{1/4} \left| \frac{\eta((1+\sqrt{-N})/2)}{\eta((b+\sqrt{-N})/(2a))} \right|$ がヒルベルト類体における代数的単数であると予想し、$N < 2000$ の 155 組のケースについて 15,000 桁の精度で数値的に検証した。
• 最小多項式は、最大 40,000 桁の高精度算術を用いて計算され、Pari-GP スクリプトによる検証も実施した。$N = 2317723$ に対しては、90 ミリ秒で多項式が計算された。
• 類体構造から導かれる七次、五次、三次数部分体の方程式を解くことにより、完全楕円積分 $K_N$ を根号と $\Gamma$-値に還元した。
• 本稿では、二重エータ商法をベンチマークとして用い、新規不変量 $g$ が Pari-GP 法よりも最小多項式の高さが小さくなることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー位数 48 の新規クラス不変量 $g$ を構築することで、$N \equiv 3 \pmod{8}$ における $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ のヒルベルト類体を効率的に生成できるか？
• RQ2 チョウラ–セールバーゲンの公式は、素数 $N \equiv 3 \pmod{4}$ に対してヒルベルト類体における代数的単数 $\lambda$ を与えるか？ そして、その単数性は高精度数値計算により検証可能か？
• RQ3 $N = 2317723$（類数 105）に対して、クラス不変量 $g$ の最小多項式が 1 秒未満で計算可能か？ また、既存手法と比較して顕著に低い高さを持つか？
• RQ4 Pari-GP の quadhilbert 手続きと比較して、新規クラス不変量 $g$ は最小多項式の高さという観点でより効率的か？
• RQ5 残差 $N \mod 64$ は、$g$ の漸近展開における係数 $\alpha(N)$ を決定する上でどのような役割を果たすか？

主な発見

• $h(-N) = 105$ である $N = 2317723$ に対して、クラス不変量 $g$ の最小多項式が 90 ミリ秒で計算され、極めて高い計算効率を示した。
• $g$ の最小多項式の高さは、Pari-GP の二重エータ商法によって得られる多項式の高さの立方根未満であり、類体生成における優れた経済性を裏付けた。
• 155 組のケース（$N < 2000$）について、チョウラ–セールバーゲン単数 $\lambda$ を 15,000 桁の精度で数値的に検証した。その最小多項式はモニックであり定数項が $-1$ であることが確認され、代数的単数であることが裏付けられた。
• $N = 2317723$ に対して、40,000 桁の精度で単数 $\lambda$ を検証し、その代数的性質と類体生成能力を確認した。
• 楕円曲線素数証明において、$3 \mod 8$ が $7 \mod 8$ よりも優れていることが判明した。新規クラス不変量により、より効率的な類体生成子が得られた。
• $N = 2317723$ に対する $g$ の最小多項式は明示的に計算され、補足ファイルに掲載されており、Pari-GP スクリプトによる検証も提供されている。