[論文レビュー] Solutions of DEs and PDEs as Potential Maps Using First Order Lagrangians

Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、ベース多様体 T と M 上の計量 h と g を用いて、第一順位のジャンブルの上に Sasaki に類似した半リーマン計量を備えた、第一順位ラグランジアンを用いて常微分方程式（ODE）および偏微分方程式（PDE）の解を、前測地線およびポテンシャル写像として定式化する。主な貢献は、DE や PDE の解を第一順位ラグランジアンの極値として実現する共変ハミルトニアン系を通じた幾何的統一であり、ローレンツ世界力則の一般化と、ポアンカレが提起した古典的問題である、ベクトル場の軌道を測地線に幾何的に変換する構造の解法を含む。

ABSTRACT

Using parametrized curves (Section 1) or parametrized sheets (Section 3), and suitable metrics, we treat the jet bundle of order one as a semi-Riemann manifold. This point of view allows the description of solutions of DEs as pregeodesics (Section 1) and the solutions of PDEs as potential maps (Section 3), via Lagrangians of order one or via generalized Lorentz world-force laws. Implicitly, we solved a problem rised first by Poincaré: find a suitable geometric structure that converts the trajectories of a given vector field into geodesics (see also [6] - [11]). Section 2 and Section 3 realize the passage from the Lagrangian dynamics to the covariant Hamilton equations.

研究の動機と目的

• 第一順位ラグランジアンを用いてODEおよびPDEの解を前測地線およびポテンシャル写像に変換する幾何的枠組みを提供すること。
• ポアンカレが提起した古典的問題を解決すること：ベクトル場の軌道を測地線に変換する幾何的構造を見つけること。
• ローレンツ世界力則を高階系に一般化し、ODEおよびPDEの両者に、第一順位ジャンブル設定へ拡張すること。
• 第一順位ジャンブル上での多シンプレクティック形式と特徴的なハミルトニアン対象を用いて、PDEの共変ハミルトニアン形式を確立すること。
• 半リーマン構造を用いた同一の幾何的言語を通じて、DEおよびPDEの力学を統一すること。

提案手法

• 本稿では、ベース多様体 T と M 上の計量 h と g を用いて、第一順位ジャンブル $ J^1(T,M) $ 上に Sasaki に類似した計量 $ S_1 $ を構成し、それを半リーマン多様体として扱う。
• Lorentz-Udri",
• 本稿では、$ J^1(T,M) $ 上に特徴的なハミルトニアン対象 $ X_H $ を導入し、$ X_H^eta \rfloor \tilde{\theta}_\beta = \tilde{\theta}_\beta $ を満たす。ここで $ \tilde{\theta}_\beta $ は相対的リウヴィル1形式である。
• この方法では、条件 $ X_H^\beta \rfloor \tilde{\theta}_\beta = \tilde{\theta}_\beta $ を課すことにより、共変ハミルトニアンPDE系を導出する。その結果、$ u^{\beta i} $、$ \frac{\tilde{\theta} u^{\beta i}}{\tilde{\theta} t^\beta} $、曲率項を含むPDE系が得られる。
• 多シンプレクティック構造を一般化するため、非退化な相対的2形式 $ \tilde{\theta} = \tilde{\theta}_\beta \bigotimes dt^\beta $ を導入する。ここで $ \tilde{\theta}_\beta $ はリウヴィル1形式から得られ、$ \nabla_h X^k_\beta $ および $ \tilde{\theta} $ を含む追加項によって修正される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一順位ODEの解は、ジャンブル上の第一順位ラグランジアンから導かれる幾何的構造において、前測地線として特徴付けられるか。
• RQ2 ローレンツ世界力則は、第一順位ジャンブル上の半リーマン多様体におけるODEの解を前測地線として記述する形に一般化可能か。
• RQ3 定数でないエネルギーおよび力項を有するPDEは、多シンプレクティック構造を用いて、第一順位ジャンブル上での共変ハミルトニアン系に再定式化可能か。
• RQ4 $ J^1(T,M) $ 上のSasakiに類似した計量が、ODEおよびPDEの解の幾何的記述を統一する役割を果たすか。
• RQ5 $ J^1(T,M) $ 上に特徴的なハミルトニアン対象 $ X_H $ を導入することで、一貫性のある共変ハミルトニアンPDE系を導出可能か。

主な発見

• ベクトル場 $ X^i $ が定数エネルギーかつ臨界点を持たない限り、常微分方程式 $ \frac{dx^i}{dt} = X^i(t,x) $ の解は、半リーマン多様体 $ (J^1(T,M), S_1) $ において前測地線として示される。
• Lorentz-Udri",
• PDE $ h^{\beta\beta}x^i_{\beta\beta} = g^{ih}h^{\beta\beta}g_{kj}(\nabla_h X^j_\beta)X^k_\beta $ の共変ハミルトニアンPDE系は、ハミルトニアン $ H = \frac{1}{2}h^{\beta\beta}g_{ij}x^i_\beta x^j_\beta - f $ を用いて導出され、ここで $ f $ はポテンシャルエネルギーである。
• この系は非退化な多シンプレクティック形式 $ \Omega = \Omega_\alpha \otimes dt^\alpha $ に従う。ここで $ \Omega_\alpha = (g_{ij}dx^i \wedge \delta x^j_\alpha + \omega_{ij\alpha}dx^i \wedge dx^j + g_{ij}(D_\gamma X^i_\alpha)dt^\gamma \wedge dx^j)\sqrt{|h|} $ である。
• 導出されたハミルトニアンPDE系には、$ u^{\alpha i} = h^{\alpha\beta}x^i_\beta $ および $ \frac{\delta u^{\alpha i}}{\delta t^\alpha} = g^{hi}h^{\alpha\beta}g_{jk}X^j_\beta(\nabla_h X^k_\alpha) + 2g^{hi}\omega_{jh\alpha}u^{\alpha j} + h^{\alpha\beta}D_\beta X^i_\alpha $ が含まれ、曲率項に一貫性条件が課される。
• 本稿では、PDEの解と第一順位ラグランジアンの極値との間に幾何的対応関係を確立し、ポアンカレが長年にわたり提起した、ベクトル場の軌道を測地線に幾何的に変換する問題を解決した。