[論文レビュー] Nonclassical Lagrangian Dynamics and Potential Maps

Constantin Udrişte|ArXiv.org|Jul 10, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、半リーマン幾何における一般化されたローレンツ＝ウドリシュテ世界力則を導入し、任意の1階偏微分方程式系が半リーマン＝ラグランジュ構造を介してこのような力則に帰着可能であることを示している。主な貢献は、これらの偏微分方程式の解が調和的またはポテンシャル写像であることを証明し、ローレンツ＝ウドリシュテ力則が、多様体 $J^1(T,M)$ 上の多胞体的構造を備えた共変ハミルトン偏微分方程式系と同値であることを示したことである。

ABSTRACT

Section 1 refines the theory of harmonic and potential maps. Section 2 defines a generalized Lorentz world-force law and shows that any PDEs system of order one generates such a law in suitable geometrical structure. In other words, the solutions of any PDEs system of order one are harmonic or potential maps, if we use semi-Riemann-Lagrange structures. Section 3 formulates open problems regarding the geometry of semi-Riemann manifolds $(J^1(T,M), S_1)$, $(J^2(T,M), S_2)$, and shows that the Lorentz-Udriste world-force law is equivalent to covariant Hamilton PDEs on $(J^1(T,M), S_1)$.

研究の動機と目的

• 半リーマン＝ラグランジュ構造を用いて、古典的ラグランジュ力学を非古典的設定へと拡張すること。
• 任意の1階偏微分方程式系が、適切な幾何的枠組みにおいてローレンツ＝ウドリシュテ世界力則として解釈可能であることを示すこと。
• ローレンツ＝ウドリシュテ世界力則と、$J^1(T,M)$ 上の共変ハミルトン偏微分方程式系との同値性を確立すること。
• $J^1(T,M)$ および $J^2(T,M)$ の幾何学的性質に関する未解決問題を提示すること。

提案手法

• 多様体 $(T,h)$ および $(M,g)$ を用いて、写像 $\varphi: T \to M$ のエネルギー密度およびラグランジアンを定義する。
• 区別されたテンソル場 $X^i_\alpha$ とスカラー関数 $c$ を含む一般化されたエネルギー密度 $E(\varphi)$ を導入し、これによりポテンシャル写像が臨界点として得られることを示す。
• 力則 $F_j{}^i_\alpha$, $U^i_{\alpha\beta}$, $c$ を含む、反対称な $\omega_{ji\alpha}$ を持つ2階偏微分方程式系としてローレンツ＝ウドリシュテ世界力則を定義する。
• $J^1(T,M)$ 上に、リーマン・リュービル形式 $\theta$ 及びその外微分を用いて、区別された多胞体的 $(p+2)$-形式 $\Omega = \Omega_\alpha \otimes dt^\alpha$ を構成する。
• ハミルトニアン観測量 $H$ に対して、条件 $X_H \llcorner \Omega_\alpha = dH$ から共変ハミルトン偏微分方程式系を導出する。
• ジェットバンドル上の運動方程式を導出することにより、ローレンツ＝ウドリシュテ力則とハミルトン偏微分方程式系との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の1階偏微分方程式系は、半リーマン幾何的枠組みにおいて、一般化されたローレンツ世界力則の解として実現可能か？
• RQ2 調和的写像およびポテンシャル写像は、このような一般化された世界力則の解とどのように関係しているか？
• RQ3 $J^1(T,M)$ 上に、ローレンツ＝ウドリシュテ世界力則が共変ハミルトニアン偏微分方程式系と同値であるために必要な幾何的構造は何か？
• RQ4 この同値性を支える、$J^1(T,M)$ 上の半リーマン構造 $S_1$ および $J^2(T,M)$ 上の半リーマン構造 $S_2$ の固有の幾何的性質は何か？
• RQ5 この枠組みにおいて、多様体 $M$ 上の連続的群作用が、ラグランジアンの極値として現れる条件は何か？

主な発見

• 半リーマン＝ラグランジュ構造を備えたとき、任意の1階偏微分方程式系 $x^i_\alpha = X^i_\alpha(t,x)$ の解は調和的またはポテンシャル写像である。
• ローレンツ＝ウドリシュテ世界力則 $\tau(\varphi)^i = g^{ij}\partial c/\partial x^j + h^{\alpha\beta}F_j{}^i_\alpha x^j_\beta + h^{\alpha\beta}U^i_{\alpha\beta}$ は、$J^1(T,M)$ 上の共変ハミルトン偏微分方程式系と同値である。
• ハミルトニアン観測量は $H = \left(\frac{1}{2}h^{\alpha\beta}g_{ij}x^i_\alpha x^j_\beta - f\right)dv_h$ で与えられ、$f$ はテンソル場 $X^i_\alpha$ に関連する補正項である。
• 区別された多胞体的形式 $\Omega_\alpha = (g_{ij}dx^i \wedge \delta x^j_\alpha + \omega_{ij\alpha}dx^i \wedge dx^j + g_{ij}(D_\beta X^i_\alpha)dt^\beta \wedge dx^j) \wedge dv_h$ は、ハミルトニアン系の背後にある幾何的構造を定義する。
• 導出されたハミルトン偏微分方程式系は、$u^{\alpha i} = h^{\alpha\beta}x^i_\beta$ および $\delta u^{\alpha i}/\partial t^\alpha = g^{hi}h^{\alpha\beta}g_{jk}X^j_\beta(\nabla_h X^k_\alpha) + 2g^{hi}\omega_{jh\alpha}u^{\alpha j} + h^{\alpha\beta}D_\beta X^i_\alpha$ であり、$dv_h$ によって相殺される項を除いて成り立つ。
• 連続的群作用の例では、ラグランジアン $L = \frac{1}{2}h^{\alpha\beta}g_{ij}(x^i_\alpha - \xi^i_\lambda A^\lambda_\alpha)(x^j_\beta - \xi^j_\mu A^\mu_\beta)\sqrt{|h|}$ が、極値（ポテンシャル写像）となる写像を生成する。