[論文レビュー] Solutions to the Einstein-scalar-field system in spherical symmetry with large bounded variation norms

Jonathan Luk, Sung‐Jin Oh+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意に大きな初期有界 Variation (BV) 範数およびボンドィ質量を有する球対称なアインシュタイン-スカラ-場系に対して、グローバルに正則で未来因果的測地線的完全な解を構成し、null無限遠での減衰がなくても解がグローバルに存在し得ることを示している。主な革新点は、大規模な初期データに対してもグローバル存在を保証する非線形摂動フレームワークを用いた新規構成にあり、強い漸近的平坦性条件下では、解がミンコフスキー時空へ鋭い逆多項式的減衰を示す。

ABSTRACT

It is well-known that small, regular, spherically symmetric characteristic initial data to the Einstein-scalar-field system which are decaying towards (future null) infinity give rise to solutions which are foward-in-time global (in the sense of future causal geodesic completeness). We construct a class of spherically symmetric solutions which are global but the initial norms are consistent with initial data not decaying towards infinity. This gives the following consequences: (1) We prove that there exist foward-in-time global solutions with arbitrarily large (and in fact infinite) initial bounded variation (BV) norms and initial Bondi masses. (2) While general solutions with non-decaying data do not approach Minkowski spacetime, we show using the results of Luk--Oh that if a sufficiently strong asymptotic flatness condition is imposed on the initial data, then the solutions we construct (with large BV norms) approach Minkowski spacetime with a sharp inverse polynomial rate. (3) Our construction can be easily extended so that data are posed at past null infinity and we obtain solutions with large BV norms which are causally geodesically complete both to the past and to the future. Finally, we discuss applications of our method to construct global solutions for other nonlinear wave equations with infinite critical norms.

研究の動機と目的

• null無限遠で減衰しない初期データを有する球対称なアインシュタイン-スカラ-場系に対する未来因果的測地線的完全な解の構成。
• 任意に大きな（無限でさえある）初期有界 Variation (BV) 範数およびボンドィ質量がグローバル存在と両立可能であることを示すこと。
• 十分強い漸近的平坦性条件下で、大規模なBV範数を有する解がミンコフスキー時空へ鋭い逆多項式的減衰率で近づくことの確立。
• 解を過去のnull無限遠へまで拡張し、過去および未来の両方で因果的測地線的完全となる解の構成。
• この手法を他の非線形波動方程式に適応し、無限の臨界範数を有するグローバル解を構成すること。

提案手法

• 著者らは、二重null座標 (u,v) を用いた特徴的初期値問題の定式化を採用し、(3+1)次元のアインシュタイン-スカラ-場系を (r, φ, m) の (1+1)次元系に還元する。
• ゲージ条件 (∂v r = 1/2) と境界条件 (r = 0 で r = m = 0) を課し、∂v(rφ) の初期データを自由に指定可能な関数 Φ(v) として設定できる。
• 非線形摂動フレームワークを構築し、解を同次部分 (φhom) と非同次部分 (φinhom) に分解する。ここで φhom は線形波動方程式を満たし、φinhom は源付き方程式を満たす。
• 非同次部分の制御に、新規の平均化公式と重み付きエネルギー推定を用いることで、大規模な初期BV範数に対しても減衰を保証する。
• 特に r+ = max(r,1) を用いた重み付き L∞ および L2 範数を用いた推定により、微分の点での値および統合的減衰を制御する。
• 対称性を用いて構成を過去のnull無限遠へ拡張し、時間方向に両方で拡張不能な解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 null無限遠で減衰しない初期データを有するアインシュタイン-スカラ-場系のグローバル解は存在可能か？
• RQ2 未来因果的測地線的完全性と両立可能な最大の初期有界 Variation (BV) 範数は何か？
• RQ3 どのような条件下で大規模な初期データを有する解がミンコフスキー時空に近づき、その減衰速度は何か？
• RQ4 この手法を他の非線形波動方程式に適応し、無限の臨界範数を有するグローバル解を構成可能か？
• RQ5 大規模なBV範数が解の漸近的挙動および減衰速度に与える影響は何か？

主な発見

• 著者らは、任意に大きな初期BV範数およびボンドィ質量を有する未来因果的測地線的完全な解を構成し、解がグローバルに存在するためには無限遠での減衰が不要であることを証明した。
• 十分強い漸近的平坦性条件下では、大規模なBV範数を有する解は、[10] で示されたように、鋭い逆多項式的減衰率でミンコフスキー時空に近づく。
• 臨界ストリッカーツ範数 ‖φ‖L12((-T,T)×R3) は過去および未来の両方で発散し、解がグローバルに正則であるにもかかわらず無限の臨界範数を持つことを示している。
• 同次部分 φhom は、時空スライス上で無限の ˙H7/6 × ˙H1/6 範数を寄与するが、非同次補正項がエネルギー範数で小さいため、この範数はグローバルに保存される。
• 初期データを過去のnull無限遠に設定することで、解は過去および未来の両方で因果的測地線的完全となる。
• このフレームワークは他の非線形波動方程式へ一般化可能であり、無限の臨界範数を有するグローバル解の構成が可能となる。