[論文レビュー] Solving Inequality-Constrained Binary Optimization Problems on Quantum Annealer

Kouki Yonaga, Masamichi J. Miyama+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2020

Optimization and Search Problems被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、スラック変数に依存せずに、不等式制約付き2値最適化問題を量子アニーリング機で解くために、交替方向乗数法（ADMM）を用いた新規ハイブリッド量子古典アルゴリズムを提案する。この手法により、qubitのオーバーヘッドが削減される。密度の高い2次ナップサック問題において、正確なソルバーおよびシミュレーテッドアニーリングよりも高い精度と高速な計算を達成し、特にD-Wave 2000Qのβ=10.0のサンプリングモードで顕著な性能向上を示す。

ABSTRACT

We propose a new method for solving binary optimization problems under inequality constraints using a quantum annealer. To deal with inequality constraints, we often use slack variables, as in previous approaches. When we use slack variables, we usually conduct a binary expansion, which requires numerous physical qubits. Therefore, the problem of the current quantum annealer is limited to a small scale. In this study, we employ the alternating direction method of multipliers. This approach allows us to deal with various types using constraints in the current quantum annealer without slack variables. To test the performance of our algorithm, we use quadratic knapsack problems (QKPs). We compared the accuracy obtained by our method with a simulated annealer and the optimization and sampling mode of a D-Wave machine. As a result of our experiments, we found that the sampling mode shows the best accuracy. We also found that the computational time of our method is faster than that of the exact solver when we tackle various QKPs defined on dense graphs.

研究の動機と目的

• 現在の量子アニーリング機が不等式制約付き2値最適化問題を処理する際のスケーラビリティの制限を克服すること。
• スラック変数とそのqubitを多く要する2値展開の必要性を排除し、D-Wave 2000Qにおける問題サイズ制限を緩和すること。
• D-Wave 2000Qのサンプリング機能を活用しつつ、妥当性と精度を維持するハイブリッド量子古典アルゴリズムの開発。
• 2次ナップサック問題（QKPs）における本手法の有効性を実証し、正確なソルバーやシミュレーテッドアニーリングと性能を比較すること。

提案手法

• 不等式制約をスラック変数を導入せずに、ペナルティ付きコスト関数に再定式化するための拡張ラグランジュ法を採用する。
• 問題を量子アニーリングと古典的最適化に分解できるように、交替方向乗数法（ADMM）を統合する。
• ADMMフレームワークは、双対変数の更新と、D-Wave 2000Q上でQUBOサブプロブレムを最適化モードまたはサンプリングモードで解くことの繰り返しを実行する。
• サンプリングモードではペナルティパラメータβを用い、実験ではβ=10.0が最適な性能を示した。
• qubitを多く要するマッピングに依存しないロジカルな問題構造上で動作することで、埋め込みのオーバーヘッドを回避する。
• 量子サンプリングと古典的後処理を組み合わせ、解のアンエムベッドと収束の改善を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スラック変数とそのqubitを多く要する2値展開を用いずに、現在の量子アニーリング機上で不等式制約付き2値最適化問題を解くことは可能か？
• RQ2 提案されたADMMベースのハイブリッドアルゴリズムの性能は、密度の高い2次ナップサック問題において正確なソルバーやシミュレーテッドアニーリングと比べてどうか？
• RQ3 D-Waveのサンプリングモードにおけるペナルティパラメータβのどの値が、本手法の解の精度を最も高めるか？
• RQ4 問題サイズと結合密度が増加するに従い、本手法の計算時間は正確なソルバーと比較して有利にスケーリングするか？
• RQ5 従来のスラック変数ベースのアプローチでは不可能な大規模問題に対しても、本手法は妥当な解を達成できるか？

主な発見

• D-Wave 2000Qのサンプリングモードでβ=10.0を使用した場合、全テスト設定の中で最高の解の精度を達成し、最適化モードおよびシミュレーテッドアニーリングを上回った。
• 本手法は、qubitの制限により従来のスラック変数アプローチでは不可能だった大規模な2次ナップサック問題を、密度の高いグラフ上で成功裏に解いた。
• 結合密度Δ=1.0の高い問題において、ADMMベースの手法はN=64の時点で正確なGurobi最適化ソルバーを上回る計算時間を達成した。
• ADMM手法の合計計算時間は、主にサンプリングとアンエムベッドのオーバーヘッドに起因しており、量子アニーリング時間（t_QA）は問題サイズにかかわらずほぼ一定であった。
• Gurobiの正確なソルバをベンチマークとして用いた場合、本手法はN=128変数の問題に対しても妥当な解を達成でき、スケーラビリティの可能性を示した。
• 平均誤差ε_ave > 0.0の妥当な解が得られたが、ADMM反復回数やサンプリング回数の増加によりさらなる改善の余地があることが示された。