[論文レビュー] Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture

Rafael von Känel, Benjamin Matschke|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 131被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、シュミラ＝タニヤマ予想とファルティングスの方法を用いて対数形式に依存せずにℚ上でのS単数、モーデル、ツェ、ツェ＝マーラー、および一般化されたラマヌジャン＝ナーゲル方程式を解くための新アルゴリズムを提示する。楕円対数ふnowと見直された高さの上限を導入し、従来解決不能であったディオファントス方程式を解き、明示的な上限を改善するとともに、新たな予想を提示する。

ABSTRACT

In the first part we construct algorithms which we apply to solve S-unit, Mordell, cubic Thue, cubic Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations. As a byproduct we obtain alternative practical approaches for various classical Diophantine problems, including the fundamental problem of finding all elliptic curves over Q with good reduction outside a given finite set of rational primes. To illustrate the utility of our algorithms we determined the solutions of large classes of equations, containing many examples of interest which are out of reach for the known methods. In addition we used the resulting data to motivate various conjectures and questions, including Baker's explicit abc-conjecture and a new conjecture on S-integral points of any hyperbolic genus one curve over Q. In the second part we establish new results for certain old Diophantine problems (e.g. the difference of squares and cubes) related to Mordell equations, and we prove explicit height bounds for cubic Thue, cubic Thue--Mahler and generalized Ramanujan--Nagell equations. As a byproduct, we obtain here an alternative proof of classical theorems of Baker, Coates and Vinogradov-Sprindzuk. In fact we get refined versions of their theorems, which improve the actual best results in many fundamental cases. Our results and algorithms all ultimately rely on the method of Faltings (Arakelov, Parshin, Szpiro) combined with the Shimura-Taniyama conjecture, and they all do not use lower bounds for linear forms in (elliptic) logarithms. In the third part we solve the problem of constructing an efficient sieve for the S-integral points of bounded height on any elliptic curve E over Q with given Mordell-Weil basis of E(Q).

研究の動機と目的

• ℚ上での古典的ディオファントス方程式、特にS単数、モーデル、ツェ、ツェ＝マーラー、および一般化されたラマヌジャン＝ナーゲル方程式を解くための実用的アルゴリズムを開発すること。
• キュービックツェ、ツェ＝マーラー、および一般化されたラマヌジャン＝ナーゲル方程式に対する明示的かつ最適化された高さの上限を提供し、ベーカー、コーエーツ、ビノグラドフ＝スプリンジュクの古典的定理を精緻化すること。
• 楕円対数の幾何的解釈を用いて、ℚ上の楕円曲線上のS整数点に対する効率的なふnowを構築すること。
• 対数形式の下界に依存せずに、古典的結果の代替的証明を提供すること。
• 計算データを生成し、バーカーの明示的abc予想および双曲的 genus 1 曲線のS整数点に関する予想を含む、新たな予想を提示すること。

提案手法

• ファルティングスの手法とシュミラ＝タニヤマ予想を組み合わせることで、対数形式の下界に依存しない。
• 2種類のアルゴリズム的アプローチを開発：1つはモジュラー記号を用い、もう1つは明示的高さの上限と効率的なふnowを組み合わせたもの。
• デ・ヴェーガーのディオファントス近似技術と新しい幾何的アイデアを統合することで、S単数方程式の見直されたふnowを構築。
• 「楕円対数ふnow」を導入し、ザギエの楕円対数還元法に加え、新規の幾何的および計算的強化を施した。
• 数値計算を精度制御付きで実行し、区間演算とニュートン法を用いて、2次形式の固有値を保証された精度で計算。
• フィンケ＝ポストの格子点列挙法を、LLL還元と有理近似に基づく実装を用いて、楕円対数ふnowで定義される回転体に適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー記号と高さの上限に依存せずに、ℚ上でのS単数方程式を対数形式に依存せずに効率的に解くことは可能か？
• RQ2 キュービックツェ、ツェ＝マーラー、および一般化されたラマヌジャン＝ナーゲル方程式に対する最も鋭い明示的高さの上限は何か？
• RQ3 楕円対数ふnowをどのように見直すことで、与えられたモーデル＝ヴェイル基底を持つ楕円曲線上のS整数点を効率的に計算できるか？
• RQ4 得られたアルゴリズムは、従来解決不能であったディオファントス方程式を解き、ディオファントス幾何学における新たな予想を生み出すデータを生成できるか？
• RQ5 シュミラ＝タニヤマ予想をどの程度活用することで、古典的ディオファントス近似の定理の改善および有効なバージョンを導けるか？

主な発見

• 本稿では、デ・ヴェーガーのディオファントス近似技術と新しい幾何的技法を統合した、S単数方程式の見直されたふnowを構築し、大幅な効率向上を達成した。
• ℚ上での楕円曲線上のS整数点を計算するための効率的な「楕円対数ふnow」が開発され、実用的に困難なディオファントス方程式を解く上で極めて重要である。
• キュービックツェ、ツェ＝マーラー、および一般化されたラマヌジャン＝ナーゲル方程式の明示的高さの上限が導出され、ベーカー、コーエーツ、ビノグラドフ＝スプリンジュクの古典的定理が精緻化された。
• 従来の手法では到達できなかった多くの方程式クラスを、アルゴリズムが効果的に解き、数論的関心の高い多くの例を含む。
• 得られたデータは、バーカーの明示的abc予想の見直し版およびℚ上での双曲的genus 1 曲線のS整数点に関する新たな予想を生み出す。
• 対数形式の下界に依存せず、古典的結果への代替的ルートを提供し、特に重要なケースにおいて、より有効な手法を提供した。