[論文レビュー] Solving systems of linear equations on a quantum computer

Stefanie Barz, Ivan Kassal+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、光子量子コンピュータを用いた、線形方程式系を解くためのハロウ＝ハシディム＝ロイド（HHL）量子アルゴリズムの初の実験的実装を示している。偏光符号化量子ビットを用い、陽的制御を伴う2つの連続した制御NOT（CNOT）ゲートを適用することで、2×2行列に対して量子状態解 |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖ の準備に成功し、状態の忠実度は最大0.981 ± 0.009に達した。これは、光子量子情報処理および量子アルゴリズムの検証において重要な前進を示している。

ABSTRACT

Systems of linear equations are used to model a wide array of problems in all fields of science and engineering. Recently, it has been shown that quantum computers could solve linear systems exponentially faster than classical computers, making for one of the most promising applications of quantum computation. Here, we demonstrate this quantum algorithm by implementing various instances on a photonic quantum computing architecture. Our implementation involves the application of two consecutive entangling gates on the same pair of polarisation-encoded qubits. We realize two separate controlled-NOT gates where the successful operation of the first gate is heralded by a measurement of two ancillary photons. Our work thus demonstrates the implementation of a quantum algorithm with high practical significance as well as an important technological advance which brings us closer to a comprehensive control of photonic quantum information.

研究の動機と目的

• 光子量子プロセッサ上で線形方程式系を解くHHL量子アルゴリズムの実験的実現可能性を示すこと。
• 大規模な線形方程式系に対して古典的手法と比べて指数的高速化を実現するスケーラブルな量子アルゴリズムの実装。
• 光子量子ビットとエンタングルゲートを用いて、解ベクトル |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖ の高忠実度状態準備を達成すること。
• 異なる行列と入力状態に対してアルゴリズムの性能を評価し、忠実度と誤差要因を分析すること。

提案手法

• アルゴリズムは、エルミート行列Aの固有値をアタッチレジスタに符号化する位相推定を用い、制御回転により固有値の逆数を実現する。
• 2つの連続した制御NOT（CNOT）ゲートが、同じ偏光符号化量子ビットペアに実装され、最初のゲートの成功は2つのアタッチ光子の測定によって陽的に示される。
• 中間のキュービットを削除し、制御回転を分解することで、量子回路を最適化し、リソースの過剰消費を低減し、実験的実現可能性を向上させた。
• 局所ユニタリ操作（半波長板および全波長板を用いて実装）により、入力状態 |b⟩ の準備と、パラメータθを介した行列Aの固有値の調整が行われた。
• アタッチキュービットが |1⟩ 状態に測定された条件で、解状態 |x⟩ が条件付きに準備された。
• 出力密度行列の再構成と理想解状態との忠実度測定のために、量子状態トモグラフィーが用いられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形方程式系を解くHHLアルゴリズムは、線形光学と後続選択に限定した光子量子コンピュータ上で実験的に実現可能か？
• RQ2 光子量子ビットと2つの連続したCNOTゲートを用いた2×2系において、解状態 |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖ の準備で達成可能な最大忠実度は何か？
• RQ3 異なる入力状態 |b⟩ と行列固有値スペクトルが、光子実装におけるアルゴリズムの忠実度と誤差率にどのように影響するか？
• RQ4 高次の光子放出効果は、アルゴリズムの性能をどの程度劣化させるか。また、これは状態 R|b⟩ に依存するか？
• RQ5 陽的制御と局所ユニタリ操作の組み合わせは、光子系におけるHHLアルゴリズムのスケーラブル実装を可能にするか？

主な発見

• HHLアルゴリズムは、同じ量子ビットペアに2つの連続したCNOTゲートを適用し、最初のゲートの成功がアタッチ光子の検出によって陽的に示される方法で、光子量子プロセッサ上で成功裏に実装された。
• 入力状態が |b₁⟩ = |1⟩ の場合、解状態 |x⟩ の忠実度が最大0.981 ± 0.009に達し、高忠実度状態準備が実現された。
• 入力状態が |b₂⟩ = |+⟩ の場合、0.832 ± 0.031の低い忠実度が観測され、これは状態 R|b⟩ に依存する高次の光子放出効果に起因するとされた。
• 行列Aの固有値スペクトルに応じてアルゴリズムの性能が変動し、固有値集合 Λ₁、Λ₂、Λ₃ の間で忠実度は0.773 ± 0.027から0.981 ± 0.009の範囲で変動した。
• 実験的設定により、パラメータθの調整によって行列Aのチューニングが可能であり、制御された固有値を持つ異なる行列の実装が可能となった。
• 結果は、光子系を用いた量子線形代数アルゴリズムの実現可能性を検証し、完全な位相推定を伴う大規模システムへのスケーリングの基盤を提供した。