[論文レビュー] Solving the time-independent Schr\"odinger equation for chains of coupled excitons and phonons using tensor trains

Patrick Gelß, Rupert Klein+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2021

Quantum and electron transport phenomena参考文献 57被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、局所的および近接原子間相互作用を有する一次元励起子-フォノン系の時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解くために、テンソル・トレース（TT）形式に基づく手法を提案する。低ランクテンソル分解と、Wielandt不活性化を組み合わせた拡張逐次線形スキームを活用することで、次元の呪いを効率的に軽減し、基底状態および励起状態の両方を高精度で計算可能とし、結合定数の広い範囲においてDavydovの自己閉じ込め現象を正確に再現した。

ABSTRACT

We demonstrate how to apply the tensor-train format to solve the time-independent Schr\"{o}dinger equation for quasi one-dimensional excitonic chain systems with and without periodic boundary conditions. The coupled excitons and phonons are modeled by Frenkel-Holstein type Hamiltonians with on-site and nearest-neighbor interactions only. We reduce the memory consumption as well as the computational costs significantly by employing efficient decompositions to construct low rank tensor-train representations, thus mitigating the curse of dimensionality. In order to compute also higher quantum states, we introduce an approach which directly incorporates the Wielandt deflation technique into the alternating linear scheme for the solution of eigenproblems. Besides systems with coupled excitons and phonons, we also investigate uncoupled problems for which (semi-)analytical results exist. There, we find that in case of homogeneous systems the tensor-train ranks of state vectors only marginally depend on the chain length which results in a linear growth of the storage consumption. However, the CPU time increases slightly faster with the chain length than the storage consumption because the alternating linear scheme adopted in our work requires more iterations to achieve convergence for longer chains and a given rank. Finally, we demonstrate that the tensor-train approach to the quantum treatment of coupled excitons and phonons makes it possible to directly tackle the phenomenon of mutual self-trapping. We are able to confirm the main results of the Davydov theory, i.e., the dependence of the wavepacket width and the corresponding stabilization energy on the exciton-phonon coupling strength, though only for a certain range of that parameter. In future work, our approach will allow calculations also beyond the restrictions of the Frenkel-Holstein type Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 準一次元励起子-フォノン系の時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解く際の次元の呪いに対処すること。
• 基底状態を超える高次の励起状態を数値的に安定かつ効率的に計算する手法を開発すること。
• Fröhlich-Holstein型ハミルトニアンを用いて、励起子-フォノン系における相互自己閉じ込めを直接シミュレートできること。
• 均一系において半解析的結果と比較して手法を検証し、波パッケージの局在化などの既知の物理現象を確認すること。

提案手法

• 量子状態ベクトルおよびハミルトニアン行列を低ランクテンソルネットワークとして表現するため、テンソル・トレース（TT）形式を採用し、メモリおよび計算コストを削減する。
• TTコアの正規直交化およびランクの切断に、切り捨て特異値分解（SVD）を用い、低ランク構造を維持する。
• 固有値問題に適応した逐次線形スキーム（ALS）を用い、複数の励起状態を逐次的に計算可能とするためにWielandt不活性化を統合する。
• スーパーコア分解を用いてハミルトニアンをコンactなTT表現に構築し、効率的な行列-ベクトル演算を実現する。
• 反復的解法における数値的安定性を確保するため、TT固有のアルゴリズムを用いて正規化およびコア更新を実行する。
• 周期的境界条件を満たすために、ランク転置構造を持つ特別なTTコアを導入することで、循環系の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル・トレース形式は、最小限のメモリおよび計算コストで、結合励起子-フォノン鎖の時間に依存しないシュレーディンガー方程式を効率的に表現・解くことができるか？
• RQ2 均一系において、状態ベクトルのテンソル・トレースランクは鎖長に伴いどのように増加するか？
• RQ3 本手法は、励起子-フォノン結合に対するDavydov理論が予測する自己閉じ込め行動をどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 本手法は高次の励起状態を信頼性高く計算可能か？収束特性は系のサイズおよびランクにどのように依存するか？

主な発見

• 均一系では、状態ベクトルのTTランクが鎖長に伴い僅かに増加するため、保存領域消費が線形スケーリングとなる。
• 固定ランク下で長鎖系において収束に必要なALS反復回数が増加するため、CPU時間の増加は保存領域消費の増加をわずかに上回る。
• 本手法は、励起子-フォノン結合定数の関数としての波パッケージ幅および安定化エネルギーについて、Davydovの予測を正確に再現した。
• ある範囲の結合パrameterにおいて自己閉じ込め状態の存在を確認し、相互自己閉じ込めの物理的メカニズムを裏付けた。
• テンソル・トレースフレームワークにより、従来の量子モンテカルロ法やグリッドベース手法に制限される強相関系においても、励起状態の直接計算が可能となった。
• 本手法は頑健でスケーラブルであり、将来的にはFröhlich-HolsteinモデルやDavydov理論のパrameter領域を超えた応用への拡張が可能である。