[論文レビュー] Solving time-fractional differential equation via rational approximation

Ustim Khristenko, Barbara Wohlmuth|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 52被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、時間分数階微分方程式を解くための新しい数値的手法を提案する。分数階核のラプラススペクトルをアダプティブAAAアルゴリズムを用いて近似することで、有理関数近似を実現し、問題をモード数が少ない常微分方程式系に還元する。この手法は、$\frac{1}{h}\frac{1}{\mathrm{log}}\frac{1}{h}$の計算量を達成し、線形および非線形のカーン・ヒリャード問題を解く際に最適な収束速度と安定性を示す。

ABSTRACT

Fractional differential equations (FDEs) describe subdiffusion behavior of dynamical systems. Its non-local structure requires taking into account the whole evolution history during the time integration, which then possibly causes additional memory use to store the history, growing in time. An alternative to a quadrature for the history integral is to approximate the fractional kernel with the sum of exponentials, which is equivalent to considering the FDE solution as a sum of solutions to a system of ODEs. One possibility to construct this system is to approximate the Laplace spectrum of the fractional kernel with a rational function. In this paper, we use the adaptive Antoulas--Anderson (AAA) algorithm for the rational approximation of the kernel spectrum which yields only a small number of real valued poles. We propose a numerical scheme based on this idea and study its stability and convergence properties. In addition, we apply the algorithm to a time-fractional Cahn-Hilliard problem.

研究の動機と目的

• 時間分数階微分方程式（FDE）に対する従来の四則演算ベースの手法が抱える高い計算コストとメモリ要件を解消すること。
• ラプラススペクトルのアダプティブ有理関数近似を用いることで、カーネル圧縮技術における補助モード数を削減すること。
• 有理関数近似フレームワークに基づく安定で高次の時間積分スキーム（陰的エイラーおよびクランク・ニコルソンの変種）を開発すること。
• 線形問題（既知の解を有する）および2次元の非線形時間分数階カーン・ヒリャード問題の両方に対して、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 分数階核のラプラス変換を、アダプティブ・アントゥラス＝アンドリュース（AAA）アルゴリズムを用いたバーチカル・リッジ補間により近似する。
• 得られる有理関数近似は、実数かつ非負の極と特異項を有する指数和表現を導出し、少数の常微分方程式モードに分解可能である。
• FDEは、$m = \mathcal{O}(\log(1/h))$ 個の結合された常微分方程式系に再定式化される。各方程式は並列に解ける。
• 指数積分に基づく安定化されたクランク・ニコルソン型スキームを提案し、不適切な振動を防ぐ。
• 時間積分スキームは履歴項の明示的四則演算を必要とせず、その係数は自然に分数階アダムス＝モルトン重みを回復する。
• 空間離散化には$64 \times 64$メッシュ上の$Q_1$有限要素法を用い、$\alpha \in \{0.1, 0.3, 0.5, 0.9\}$の非線形カーン・ヒリャードモデルに適用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AAAアルゴリズムは、従来の四則演算ベースのカーネル圧縮手法と比較して、より少ないモード数で分数階核のラプラススペクトルの有理関数近似を可能にするか？
• RQ2 得られる常微分方程式系は、最適な収束速度を達成する安定で収束する時間積分を可能にするか？
• RQ3 非線形時間分数階PDE、特にカーン・ヒリャード方程式に対して、本手法は精度と計算効率の両面で優れているか？
• RQ4 安定化されたクランク・ニコルソンスキームは、FDEに適用される指数積分法で一般的に見られる不適切な振動を回避できるか？
• RQ5 分数階数$\alpha$および時間刻み幅$h$の変化に伴う、本手法の収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• 提案された時間積分スキームでは、$\mathcal{O}(h \log h)$および$\mathcal{O}(h^{1+\alpha})$の収束速度が達成され、理論的期待と一致する。
• モード数$m$は、多くの既存のカーネル圧縮手法と比較して顕著に小さいが、$\mathcal{O}(\log(1/h))$の成長を示す。
• 安定化されたクランク・ニコルソンスキームは不適切な振動を効果的に回避し、剛性のある分数階問題に対しても頑健である。
• 時間分数階カーン・ヒリャード問題において、$\alpha$が小さいほど初期段階でのバブルの凝集が速く、その後のダイナミクスは$\alpha$が大きい場合に比べて遅くなる。これは物理的直観と整合的である。
• 収束解析により、相対誤差$\mathcal{E}_r$がすべてのテストされた$\alpha$値で理論的境界を満たし、誤差の収束速度が予測された次数と一致することが確認された。