[論文レビュー] Some applications of weighted norm inequalities to the analysis of optimal control problems

Harbir Antil, Enrique Otárola+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非一様楕円型方程式と点指定追従目的を伴う最適制御問題のヒルベルト空間に基づく解析および数値離散化を簡素化するために、Muckenhoupt重み、重み付きソボレフ空間、重み付きノルム不等式を適用する。この枠組みにより、従来の手法と比較して、収束解析と一般化がより簡単に行えることが示された。

ABSTRACT

The purpose of this work is to illustrate how the theory of Muckenhoupt weights, weighted Sobolev spaces and weighted norm inequalities can be used in the analysis and discretization of optimal control problems. We consider: a linear quadratic optimal control problem where the state solves a nonuniformly elliptic equation; a problem with a pointwise tracking objective and one where the control is the amplitude of forces, modeled as point masses. For all three examples we propose and analyze numerical schemes. While some of these problems might have been considered before in the literature, our approach allows for a simpler, Hilbert space-based, analysis and discretization and further generalizations.

研究の動機と目的

• 非一様楕円型偏微分方程式を伴う最適制御問題の解析のためのヒルベルト空間ベースの枠組みを構築すること。
• 点指定追従および制御を点質量として扱う制御問題の解析と離散化を簡素化すること。
• 重み付きノルム不等式を最適制御設定に拡張し、収束性と一般化性の向上を図ること。
• 従来の結果をより洗練された理論的基盤で統一的に一般化するアプローチを提供すること。

提案手法

• 状態方程式における非一様楕円性を扱うためにMuckenhoupt重みを用いる。
• 状態変数および随伴変数の適切な可積分性と正則性を確保するため、重み付きソボレフ空間を定義に用いる。
• 数値スキームの解析における誤差推定を制御するために重み付きノルム不等式を適用する。
• 重み付き枠組みを用いてガラーキン型離散化の安定性および収束結果を導出する。
• 非一様楕円性を伴う追従、点指定追従、点質量による制御の3つの異なる制御問題に対して、数値スキームを設計および分析する。
• 重み付き空間における変分定式化と弱解の等価性を確立し、頑健な離散化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様楕円型作用素を伴う最適制御問題における数値スキームの収束を分析する際、重み付きノルム不等式を体系的に適用する方法は何か？
• RQ2 重み付きソボレフ空間の使用は、古典的手法と比較して、より単純なヒルベルト空間ベースの解析を可能にするか？
• RQ3 Muckenhoupt重みは、不規則な係数を伴う制御問題の解法および離散化の安定化に果たす役割は何か？
• RQ4 提案された枠組みは、点指定追従および点質量による制御の既存結果をどの程度一般化できるか？
• RQ5 重み付き枠組みは、有限要素離散化の頑健性および収束性をどの程度向上できるか？

主な発見

• Muckenhoupt重みの使用により、非一様楕円型偏微分方程式を伴う最適制御問題のヒルベルト空間解析がより自然かつ簡素化されたものとなる。
• 重み付きソボレフ空間は、不規則な係数を扱い、状態方程式および随伴方程式の適切な定義を保証する適切な関数空間を提供する。
• 重み付きノルム不等式は、制御問題の数値離散化における誤差推定をより鋭くかつ頑健にすることを可能にする。
• 提案された数値スキームは、古典的手法よりも弱い仮定のもとで収束することが示され、適用範囲が拡大される。
• この枠組みにより、点指定追従や点質量による制御の問題への一般化が、最小限の修正で容易に行える。
• 解析により、重み付きアプローチが、異なる種類の制御問題を共通の理論的基盤の下で統一的に取り扱えることが明らかになった。