[論文レビュー] Some approximation properties of bivariate Bleimann-Butzer and Hahn operators based on (p,q)-integers

M. Mursaleen, Md. Nasiruzzaman|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$(p,q)$-整数を用いた、Bleimann-Butzer-Hahn作用素の新しい2変数一般化を導入し、モジュラスの連続性およびリプシッツ型最大関数を用いて収束速度を導出し、Korovkin型近似定理を確立している。主な貢献は、明示的な誤差境界を伴う、より一般的な$(p,q)$-微積分枠組みへの古典的作用素の拡張である。

ABSTRACT

Recently, Mursaleen et al applied (p,q)-calculus in approximation theory and introduced (p,q)-analogue of Bernstein operators in [16]. In this paper, we construct and introduce a generalization of the bivariate Bleimann-Butzer-Hahn operators based on (p,q)-integers and obtain Korovkin type approximation theorem of these operators. Furthermore, we compute the rate of convergence of the operators by using the modulus of continuity and Lipschitz type maximalfunctions.

研究の動機と目的

• 古典的な2変数Bleimann-Butzer-Hahn作用素を、より良い近似の柔軟性を得るための$(p,q)$-整数フレームワークに拡張すること。
• テスト関数 $e_{ij} = \left(\frac{u}{1+u}\right)^i\left(\frac{v}{1+v}\right)^j$ を用いて、新しい$(p,q)$-2変数作用素に対するKorovkin型近似定理を確立すること。
• モジュラスの連続性および一般化されたリプシッツ型最大関数を用いて、収束速度を分析すること。
• より一般的な$(p,q)$-微積分フレームワークに統合することで、既存の$q$-微積分に基づく近似作用素を一般化すること。

提案手法

• $(p,q)$-整数および$(p,q)$-二項展開を用いて、2変数作用素 $L^{(p_{n_1},p_{n_2}),(q_{n_1},q_{n_2})}_{n_1,n_2}(f;x,y)$ を構築する。
• $(p,q)$-オイラー恒等式の類似：$\prod_{s=0}^{n-1}(p^s + q^s x) = \sum_{k=0}^n p^{\frac{(n-k)(n-k-1)}{2}} q^{\frac{k(k-1)}{2}} \left[\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right]_{p,q} x^k$ を用いる。
• テスト関数 $e_{ij}$ について $i,j = 0,1,2$ の収束を確認することで、Korovkin定理を適用する。
• 収束速度の推定に、モジュラスの連続性 $\omega(f;\delta)$ およびリプシッツ型最大関数を用いる。
• ホルダーの不等式を用いて誤差境界を導出し、$\delta_{n_i}(x)$、$[n_i]_{p_{n_i},q_{n_i}}$、および $\gamma_i$ パrameter に関する推定値を含む。
• 点ごとの収束境界 $|L(f;x,y) - f(x,y)| \leq M \left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \cdots + M\delta_{n_1}^{\alpha_1/2}(x)\delta_{n_2}^{\alpha_2/2}(y)$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な2変数Bleimann-Butzer-Hahn作用素は、どのように$(p,q)$-整数を用いて一般化できるか？
• RQ2 提案された$(p,q)$-2変数作用素に対して、Korovkin型収束が保証される条件は何か？
• RQ3 モジュラスの連続性およびリプシッツ型関数の観点から、$(p,q)$-2変数作用素の収束速度はどのように評価できるか？
• RQ4 $(p,q)$-フレームワークは、既存の$q$-ベースの近似作用素に対してどのように改善をもたらすか？
• RQ5 これらの新しい作用素を用いて、連続関数の点ごとの近似に対して明示的な誤差境界を導出できるか？

主な発見

• テスト関数 $e_{ij}$ に対するKorovkin条件を満たす限り、提案された$(p,q)$-2変数Bleimann-Butzer-Hahn作用素は、$\mathbb{R}^2_+$ 上で関数 $f$ に一様収束する。
• 収束速度は $O\left(\left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \left(\frac{\gamma_1}{[n_1]_{p,q}}\right)^{\alpha_1} \cdots \right)$ と推定され、$n_i$、$\gamma_i$、$[n_i]_{p,q}$ に依存することが示された。
• 誤差境界に $\delta_{n_i}^{\alpha_i/2}(x)$ 項が含まれており、滑らかさの高い関数に対して収束が向上することを示している。
• ホルダーの不等式の適用により、$u$ および $v$ の個別の作用素近似の積を含む合成誤差境界が導出可能である。
• 境界 $|L(f;x,y) - f(x,y)| \leq M \left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \cdots + M\delta_{n_1}^{\alpha_1/2}(x)\delta_{n_2}^{\alpha_2/2}(y)$ は、$n_i$ および滑らかさパrameter に明示的な依存性を示し、点ごとの収束を確認している。
• このフレームワークは、$q$-微積分に基づく作用素を一般化しており、$p=1$ の場合に $q$-バージョンが特別な場合として回復される。