[論文レビュー] Some approximation results on Bleimann-Butzer-Hahn operators defined by (p,q)-integers

M. ‎Mursaleen, Md. Nasiruzzaman+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、$(p,q)$-整数に基づく新しい$(p,q)$-Bleimann-Butzer-Hahn作用素のクラスを導入し、古典的および$q$-類似版を一般化する。Korovkin型近似定理を確立し、連続性モジュラスを用いた収束見積もりを提供することで、特定のパラメータ条件下で一般化されたリプシッツ型空間に属する関数について一様収束を示している。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a generalization of the Bleimann-Butzer-Hahn operators based on (p,q)-integers and obtain Korovkin's type approximation theorem for these operators. Furthermore, we compute convergence of these operators by using the modulus of continuity.

研究の動機と目的

• 古典的Bleimann-Butzer-Hahn作用素を$(p,q)$-整数を用いて一般化し、近似の柔軟性を向上させる。
• テスト関数$\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$（$\nu = 0,1,2$）を用いて、新しい$(p,q)$-BBH作用素に対するKorovkin型近似定理を確立する。
• 連続性モジュラスおよびリプシッツ型最大関数を用いて、作用素の収束速度を分析する。
• より一般化された$(p,q)$-微積分枠組みを組み込むことで、$q$-BBH作用素に関する先行研究を拡張する。

提案手法

• $(p,q)$-整数を用いて、明示的なカーネル$\ell_n^{p,q}(x) = \prod_{s=0}^{n-1}(p^s + q^s x)$を持つ$(p,q)$-Bleimann-Butzer-Hahn作用素を定義する。
• $(p,q)$-二項展開および$(p,q)$-整数$[k]_{p,q} = \frac{p^k - q^k}{p - q}$を用いて、作用素の重み関数を構築する。
• テスト関数$\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$（$\nu = 0,1,2$）に対する収束を確認することで、Korovkin定理を適用する。
• 連続性モジュラスおよびリプシッツ型条件を用いて、$\widetilde{W}_{\alpha,[0,\infty)}$に属する関数の近似誤差を推定する。
• ホルダーの不等式および$[n]_{p_n,q_n}$、$[n+1]_{p_n,q_n}$、$c_n = [n+1]_{p_n,q_n} + \gamma$の漸近的挙動を用いて収束バウンドを導出する。
• パラメータ制約下で作用素ノルム差$\|L_n^{(p_n,q_n),\gamma}(f) - f\|_{C_B} \to 0$が$n \to \infty$で成り立つことを示すことで、一様収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Bleimann-Butzer-Hahn作用素は、$(p,q)$-整数を用いて一般化可能であり、より優れた近似の柔軟性を達成できるか？
• RQ2 提案された$(p,q)$-BBH作用素は、テスト関数$\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$（$\nu = 0,1,2$）に対してKorovkin近似定理を満たすか？
• RQ3 $(p,q)$-BBH作用素の収束速度は、連続性モジュラスおよびリプシッツ型条件の観点からどのように評価できるか？
• RQ4 $p_n \to 1^-$および$q_n \to 1^-$のとき、収束挙動はどのように変化するか？また、$q$-BBH作用素に対する極限挙動は何か？

主な発見

• $(p,q)$-BBH作用素は、$\left(\frac{t}{1+t}\right)^\nu$（$\nu = 0,1,2$）に対してKorovkin近似定理を満たし、$\mathbb{R}_+$上で一様収束することが保証される。
• 収束速度は、$3M \cdot \max\left\{ \left(\frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right)^\alpha \left(\frac{\gamma}{[n]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha, \left|1 - \frac{[n+1]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right|^\alpha \left(\frac{p_n[n]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha, 1 - 2\frac{p_n[n]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}} + \frac{q_n[n]_{p_n,q_n}[n-1]_{p_n,q_n}}{[n+1]_{p_n,q_n}^2} \right\}$で有界である。
• $p_n = 1$のとき、作用素は$q$-BBH作用素に簡約され、$\gamma = 0$、$q_n = 1$のとき、Balázs型一般化$q$-BBH作用素が回復される。
• 関数が$\widetilde{W}_{\alpha,[0,\infty)}$に属する場合、収束は一様であり、誤差は$\delta_n^{\alpha/2}(x)$に比例して減少する。ここで$\delta_n(x)$は作用素の2次モーメントである。
• バウンドは$\left(\frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma}\right)^\alpha \left(\frac{\gamma}{[n]_{p_n,q_n}}\right)^\alpha$に依存しており、$\gamma$および$n$に敏感であることが示された。
• $n \to \infty$のとき、条件$\lim_{n \to \infty} \frac{[n]_{p_n,q_n}}{c_n + \gamma} = 1$が成り立つ限り、収束が保証され、漸近的安定性が得られる。