[論文レビュー] Some aspects of explicit birational geometry inspired by complex dynamics

Keiji Oguiso|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 59被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、複素力学系の概念——特に位相的エントロピーと力学的次数——を用いて、射影的・コンパクト・カーラー多様体の双有理的・正則的自己同型を研究し、特に正エントロピーを持つ原始的自己同型に焦点を当てる。ハイパーカラーエル多様体に正エントロピーを持つ自己同型が存在する明示的例を構成し、特にピカード数が最小で、アーベルでない自己同型群を有する場合を含む。これは、最小モデルプログラムの仮定の下で、高次元代数幾何においてこのような力学的構造が自然に生じることを示している。

ABSTRACT

Our aim is to illustrate how one can effectively apply the basic ideas and notions of topological entropy and dynamical degrees, together with recent progress of minimal model theory in higher dimension, for an explicit study of birational or biregular selfmaps of projective or compact Kähler manifolds, through concrete examples.

研究の動機と目的

• 射影的またはコンパクト・カーラー多様体に、正エントロピーを持つ原始的双有理的または正則的自己同型が存在するか、その構造を調査すること。
• 特に位相的エントロピーと力学的次数を含む複素力学系の道具を、明示的な幾何的例に適用すること。
• 正エントロピー自己同型を有する射影的ハイパーカラーエル多様体の最小ピカード数を特定すること。
• K3表面の自己同型群とそのヒルベルトスキームの自己同型群との関係を、特に群が非アーベル的になる場合に探ること。
• m ≥ 3 のとき、Aut(S) が Aut(S^{[m]}) に等しいかどうかという自然性の問題に取り組むこと。

提案手法

• 原始的自己同型が無限位数をもつ多様体を分類するために、最小モデルプログラム（MMP）と弱豊富性予想を用いる。
• 最初の力学的次数 d₁(f) が正エントロピーを決定するため、力学的次数と位相的エントロピーの概念を自己同型の分類に適用する。
• 表面からの自己同型の上昇を用いて、K3表面のヒルベルトスキーム S^{[n]} に自己同型を構成し、エントロピーを保存する。
• 四次K3表面の Beauville対合を用いて、S^{[2]} に非アーベル的自己同型群を生成する。
• Néron–Severi格子の分析により、正エントロピー自己同型を有する最小ピカード数の多様体を同定する。
• 自己同型群の自由積構造（例：ℤ * ℤ）を用いて、正エントロピー自己同型の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的またはカーラー多様体が、正エントロピーを持つ原始的正則的自己同型を有するための必要な幾何的条件は何か？
• RQ2 次元 ≥ 4 の射影的ハイパーカラーエル四fold が正エントロピー自己同型を有するための最小ピカード数は何か？
• RQ3 m ≥ 3 のとき、K3表面 S の自己同型群がそのヒルベルトスキーム S^{[m]} の自己同型群と同型になることは可能か？
• RQ4 力学的次数と位相的エントロピーは、高次元多様体上の双有理的自己同型の構造をどのように制約するか？
• RQ5 Beauville対合は、K3表面のヒルベルトスキーム上の非アーベル的自己同型群を生成する役割を果たすか？

主な発見

• S がサレム型自己同型 f を持ち、d₁(f) = a > 1 であるK3表面の場合、M = S^{[n]} は非射影的ハイパーカラーエル多様体であり、正エントロピーを持つ原始的正則的自己同型 f_M を持つ。
• ρ(S) = 1 である射影的K3表面 S に対して、S^{[n]} は ρ(S^{[n]}) = 2 だが、Bir(S^{[n]}) は有限である。これはピカード数が高い場合と明確な対比を示す。
• S^{[2]} に同型な変形をもつ射影的ハイパーカラーエル4次元多様体 M が存在し、ρ(M) = 2、NS(M) ≅ (ℤ[η], 4Nm(*)) であり、Aut(M) はランク1のほぼアーベル群で正エントロピーを持つ。これは、このような力学的構造を有する最小ピカード数を達成している。
• Cayley K3表面 S に対して、S^{[2]} の自己同型群は ⟨ι₀, ι₁, ι₂⟩ ≅ ℤ * ℤ に同型であり、正エントロピー自己同型を有する。また、[Aut(S^{[2]}):Aut(S)] = ∞ である。
• Aut(S^{[2]}) は自由積 ℤ * ℤ を含み、正エントロピー自己同型の存在を確認する。また、Aut(S^{[2]}) は Aut(S) よりもはるかに大きいことが示され、自然性の問題とは対照的である。