[論文レビュー] Some compactness criteria for weak solutions of time fractional PDEs

Li Lei, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Banach空間における一般化された弱いCaputo微分を導入し、ボルテラ積分形式を用いて時間正則性推定を行うことで、時間分数PDEの弱解に関するコンパクト性基準を確立する。主な貢献は、Aubin–Lions補題の分数版に相当するもので、R²における時間分数圧縮性Navier–Stokes方程式およびKeller–Segel方程式の弱解の存在の証明を可能にする。

ABSTRACT

The Aubin-Lions lemma and its variants play crucial roles for the existence of weak solutions of nonlinear evolutionary PDEs. In this paper, we aim to develop some compactness criteria that are analogies of the Aubin--Lions lemma for the existence of weak solutions to time fractional PDEs. We first define the weak Caputo derivatives of order $γ\in (0,1)$ for functions valued in general Banach spaces, consistent with the traditional definition if the space is $\mathbb{R}^d$ and functions are absolutely continuous. Based on a Volterra type integral form, we establish some time regularity estimates of the functions provided that the weak Caputo derivatives are in certain spaces. The compactness criteria are then established using the time regularity estimates. The existence of weak solutions for a special case of time fractional compressible Navier-Stokes equations with constant density and time fractional Keller-Segel equations in $\mathbb{R}^2$ are then proved as model problems. This work provides a framework for studying weak solutions of nonlinear time fractional PDEs.

研究の動機と目的

• 時間分数PDEにAubin–Lions補題を拡張するために、弱解に関するコンパクト性基準を確立すること。
• 一般のBanach空間値関数に対して、γ ∈ (0,1) の順序の弱いCaputo微分を定義し、適用可能な場合に古典的定義と整合性を持つようにすること。
• 弱いCaputo微分がLp空間に属する関数に基づく時間正則性推定を確立すること。
• 導出されたコンパクト性基準を、時間分数圧縮性Navier–Stokes方程式およびR²におけるKeller–Segel方程式という2つのモデル問題の弱解の存在を証明するために応用すること。
• 非線形時間分数PDEの弱解を関数解析的道具と分数階微積分学を用いて研究するための一般的な枠組みを提供すること。

提案手法

• ボルテラ型積分表現を用いて弱いCaputo微分を定義し、古典的Caputo微分をBanach空間値関数へ一般化する。
• 弱いCaputo微分がLp空間にある関数についての時間シフト推定を導出し、時間におけるホルダー型正則性を確立する。
• 時間正則性推定を用いて、Aubin–Lions補題に類似したボレル空間における強いコンパクト性基準を構築する。
• Mittag-Leffler作用素Eγ(−tγA)を用いて、時間分数圧縮性Navier–Stokes方程式の弱い形態にコンパクト性基準を適用する。
• 時間分数Keller–Segelモデルに対して、C([0,T]; Hα(R²))における縮小写像を用いて弱解の存在と一意性を確立する。
• H⁻¹(R²)およびH¹(R²)におけるエネルギー推定と双対性の議論を用いて、質量保存および解の非負性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間分数PDEに対して、Aubin–Lions補題に類似したコンパクト性基準を構築することは可能か？
• RQ2 任意のBanach空間値関数に対して、古典的定義と整合性を持つように、Caputo微分を一般化することは可能か？
• RQ3 弱いCaputo微分がLp空間に属する関数に対して、どのような時間正則性推定を導くことができるか？
• RQ4 提案されたコンパクト性フレームワークを、非線形時間分数PDEの弱解の存在を証明するために応用可能か？
• RQ5 時間分数Keller–Segel方程式およびNavier–Stokes方程式の解の正則性および構造的性質（例：非負性、質量保存）は何か？

主な発見

• 一般のBanach空間値関数に対して、γ ∈ (0,1) の順序の新しい弱いCaputo微分の定義が導入され、古典的定義が拡張される。
• 時間正則性推定が確立された：弱いCaputo微分がLpに属するならば、関数は時間において指数γ/2のホルダー型正則性を示す。
• ボレル空間において、Aubin–Lions補題に類似したコンパクト性基準が証明され、時間および空間において収束する部分列の抽出が可能になる。
• C([0,T]; Hα(R²))における縮小写像原理を用いて、R²における時間分数圧縮性Navier–Stokes方程式に対して弱解の存在が確立された。
• R²における時間分数Keller–Segel方程式の解は非負であり、質量保存が保証され、C⁰,γ([0,T]; Hα(R²)) ∩ C∞((0,∞); Hα(R²))における一意性および正則性が示された。
• Fubiniの定理と基本解の勾配の積分がゼロである事実を用いて、質量保存が証明された。これにより、弱い形態における第二項が全質量を変化させないことが保証される。