[論文レビュー] Some definite logarithmic integrals from Euler sums, and other integration results

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

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ひとこと要約

本稿では、多重対数積分とポリログ関数および有理関数を含む積分に対して、明示的な閉形式の式を得る。これらはオイラー和およびリーマン・ゼータ関数の値と関連づけられる。特殊関数、特にポリガンマ関数およびフルヴィッツ・ゼータ関数の性質を用いて、特に対数的および有理関数的重み付き積分について、新しい積分表現および和の恒等式を確立する。主な結果は、整数引数におけるリーマン・ゼータ関数の値によって表現される。

ABSTRACT

We present explicit expressions for multi-fold logarithmic integrals that are equivalent to sums over polygamma functions at integer argument. Such relations find application in perturbative quantum field theory, quantum chemistry, analytic number theory, and elsewhere. The analysis includes the use of properties of a variety of special functions.

研究の動機と目的

• オイラー和およびゼータ関数の値を用いて、(k+1)重対数積分の明示的評価を導出すること。
• 定積分としての対数積分と、整数引数におけるポリガンマ関数の和との間の関係を確立すること。
• 母関数および積分変換を用いて、交項ポリガンマ関数および調和数の和に対する新しい積分表現を提供すること。
• パラメータ化されたポリガンマ関数の和および有理関数およびポリログ関数を含む積分へ結果を拡張すること。
• 特殊関数の恒等式を用いて、既知のオイラー和および対数積分に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 部分積分および母関数を用い、特に $\frac{1}{2}\ln^2(1-x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k+1}x^{k+1}$ という恒等式を用いて、対数積分と調和数の和を関連付ける。
• 積分 $\int_0^1 t^r \ln^{k-1}t \, dt = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{(r+1)^k}$ を用いて、和と積分の交換を実行する。
• 調和数の和に関するオイラーの恒等式：$2\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^m} = (m+2)\zeta(m+1) - \sum_{n=1}^{m-2} \zeta(m-n)\zeta(n+1)$（$m \geq 2$）。
• 逆ラプラス変換およびポリガンマ関数の積分表現を用いて、$\psi^{(k)}(\ell)/\ell$ を含む和の別の表現を導出する。
• ディガマ関数およびポリガンマ関数の関数方程式、特に $\psi^{(j)}(x+1) = \psi^{(j)}(x) + (-1)^j j! x^{-j-1}$ を用いて、和を簡約する。
• $\ln(1-x)$ および $\text{Li}_s(-x)$ の級数展開を用い、項別積分を組み合わせることで、有理関数の重み付き $[0,1]$ 上の積分を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式 $\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{1-t} \ln^k t \, dt$ の (k+1) 重対数積分は、ゼータ関数の値を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 和 $\sum_{r=1}^\infty \frac{H_r}{r^{k+1}}$ とポリガンマ関数の和 $\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\psi^{(k)}(\ell)}{\ell}$ の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 交項ポリガンマ和 $\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^3} \psi(j+1)$ は、積分変換またはポリログ関数を用いて表現可能か？
• RQ4 $\psi^{(j)}(n)$ および有理関数を含む和のための積分表現は何か？例えば $\int_0^1 \frac{\ln(1+x) \ln^2 x}{1-x} dx$ のような積分。
• RQ5 フルヴィッツ・ゼータ関数およびポリガンマ関数の関数方程式は、多重量対数積分の簡約をどのように可能にするか？

主な発見

• 積分 $\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{1-t} \ln^k t \, dt$ は、$k \geq 1$ に対して $\frac{(-1)^{k+1}}{2} k! \left[(k+1)\zeta(k+2) - \sum_{n=1}^{k-1} \zeta(k-n+1)\zeta(n+1)\right]$ に等しい。
• 和 $\sum_{r=1}^\infty \frac{H_r}{r^{k+1}}$ は、$\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\psi^{(k)}(\ell)}{\ell} \cdot \frac{(-1)^{k+1}}{k!}$ に等しく、調和数の和とポリガンマ関数を結びつける。
• $k=5$ の場合、積分は $-\frac{4}{3}\pi^4\zeta(3) - 20\pi^2\zeta(5) + 360\zeta(7)$ に等しくなる。これはゼータ関数の値への明示的依存性を示している。
• 積分 $I_2 = \int_0^1 \frac{\ln(1+t) \ln^2 t}{1-t} dt$ は、交項ポリガンマ和を用いて $\frac{7}{2}\ln 2 \cdot \zeta(3) - \frac{19}{720}\pi^4$ に等しい。
• 和 $\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^3} \psi(j+1)$ は、$\frac{1}{4}\int_0^1 \left[4\text{Li}_3(-t) + 3\zeta(3)\right]\frac{dt}{t-1} + \frac{3}{4}\gamma\zeta(3)$ として表現され、新しい積分表現が得られた。
• 倍積分式 $\psi^{(2)}(2x) = \frac{1}{8}\left[\psi^{(2)}(x) + \psi^{(2)}(x+\frac{1}{2})\right]$ を用いて、恒等式 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \psi^{(2)}(k) = -\frac{5}{2}\zeta(4)$ が導出された。