[論文レビュー] Some dendriform functors

Frédéric Chapoton|ArXiv.org|Sep 15, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、タマリラティス上の加群カテゴリを用いて、木型双代数的オペラッドのカテゴリ化を提案する。3つの主要な作用素、すなわち最初の合成写像 $∘_1$、結合的積 $*$、および新しい積 $ ext{ extnumero}$ のカテゴリ化を実現する関手を構成する。主な貢献は、$ ext{ extnumero}$ 積が射影的加群を保存することを証明し、Grothendieck群のレベルにおいて、この作用素のwell-definedな関手的カテゴリ化を可能にすることにある。

ABSTRACT

We make a first step towards categorification of the dendriform operad, using categories of modules over the Tamari lattices. This means that we describe some functors that correspond to part of the operad structure.

研究の動機と目的

• タマリポセットの表現論を用いて、木型双代数的オペラッド $\operatorname{Dend}$ のカテゴリ化を開始すること。
• タマリ順序集合上の加群カテゴリに、$\operatorname{Dend}$ のオペラッド的作用素に対応する関手を定義すること。
• カタランの代わりのテーブルを用いて定義された $\text{ extnumero}$ 積が、射影的加群の部分カテゴリを保存することを示し、その結果、Grothendieck群上のwell-definedな関手が誘導されることを示すこと。
• Grothendieck群におけるオイラー形式と整合性を示し、正の性質を保存すること。

提案手法

• カテゴリ化は、平面的2分木の基底をタマリ順序集合カテゴリのGrothendieck群における単純加群として解釈することで達成される。
• $\mathbb{Y}_m \times \mathbb{Y}_n$ から $\mathbb{Y}_{m+n-1}$ への加群カテゴリからの関手を、$\circ_1$、$*$、$\text{ extnumero}$ の各作用素に対応して構成する。
• $\text{ extnumero}$ 積は非交叉的配置を用いて組合せ的に定義され、帰納法と分解補題を用いて射影的加群を保存することを示す。
• オイラー形式を用いて、$\text{ extnumero}$ 関手がGrothendieck群構造と整合することを検証する。
• 構造的補題（例：補題10.3、補題10.4）に依拠し、上／下積と非交叉的木の性質を用いて積を分解する。
• 射影的加群のカテゴリが $\circ_1$ および $\text{ extnumero}$ に関して閉じていることが示され、必要な関手の構成が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タマリラティス上の加群カテゴリを用いて、木型双代数的オペラッドを部分的にカテゴリ化できるか？
• RQ2 カタランの代わりのテーブルを用いて定義された $\text{ extnumero}$ 積を、加群カテゴリ上の関手としてどのように実現できるか？
• RQ3 $\text{ extnumero}$ 積がタマリ順序集合カテゴリにおける射影的加群の部分カテゴリを保存するか？
• RQ4 $\text{ extnumero}$ 積がタマリポセットのGrothendieck群におけるオイラー形式と整合性を示すか？
• RQ5 $\text{ extnumero}$ 積がGrothendieck群における正の性質と重複なしの和を保存することを示せるか？

主な発見

• $\text{ extnumero}$ 積は、次数に関する帰納法と上／下積への分解を用いて、射影的加群を保存することが証明された。
• $\text{ extnumero}$ 積は、$\mathbb{Y}_m \times \mathbb{Y}_n$-加群から $\mathbb{Y}_{m+n-1}$-加群へのwell-definedな関手を誘導する。
• $\text{ extnumero}$ 積はオイラー形式を尊重し、Grothendieck群上で $E(x\#y) = E(x)\#E(y)$ を満たす。
• 重複なしの平面的2分木の和同士の $\text{ extnumero}$ 積は、重複なしの木の和として得られ、式 (40) で示された。
• 射影的要素の集合は、$\circ_1$ および $\text{ extnumero}$ に関して、$\psfig{height=7.11317pt}$ と $\psfig{height=7.11317pt}$ によって生成されることが、命題10.6で確立された。
• $\text{ extnumero}$ 積は正の要素に対して正であり、Grothendieck群における2つの正の要素の積は、依然として正である。