[論文レビュー] Some Ergodic Theorems for Random Rotations on Wiener Space

Ali Süleyman Üstünel, Moshe Zakai|ArXiv.org|Oct 16, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、マリヤン・微積分とスコロホド積分を用いて、ウィーナー空間上の確率的回転の強混合性およびエルゴード性の十分条件を確立する。確率的にゼロに収束する相関関係を満たす確率的ユニタリ作用素が成り立つならば、誘導される変換は強混合的であることが示され、古典的結果が非線形かつ確率的設定に一般化される。

ABSTRACT

In this paper we study ergodicity and mixing property of some measure preserving transformations on the Wiener space (W,H,μ) which are generated by some random unitary operators defined on the Cameron-Martin space H.

研究の動機と目的

• カ姆デン＝マーティン空間上の確率的ユニタリ作用素によって生成されるウィーナー空間上の測度保存変換のエルゴード性および混合性を調査すること。
• 決定的回転の古典的エルゴード性結果を、確率的かつ非線形変換の状況に拡張すること。
• 確率的等長変換の漸近的相関なし条件に基づいて強混合性を特徴づけること。
• 確率的回転作用素の内積の確率的ゼロ収束に関する条件を用いて、強混合性の十分条件を提示すること。
• 適応過程とカオス的表現性を用いて、強混合変換の一般的な例を構築すること。

提案手法

• マリヤン微積分の枠組み、特にスコロホド積分と発散作用素を用いて、ウィーナー空間上での確率的回転を定義し分析すること。
• カムデン＝マーティン空間上の確率的ユニタリ作用素の2次量子化を適用し、測度保存変換を生成すること。
• イト＝ニシオの定理を用いて、ウィーナー経路をカムデン＝マーティン空間の正規直交基底における級数として表現すること。
• 確率的ユニタリ作用素の単位分解に対する条件を導入し、カオス的表現性を持つ円柱マルティンガールを定義すること。
• すべての h, k ∈ H に対して (Qₙh, k)ₕ が確率的にゼロに収束することに基づく、強混合性の十分条件を導出すること。
• ギルサノフ型の恒等式とイトの表現定理を用いて、特定の例における混合条件の検証を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィーナー空間上の確率的回転がどの条件下で強混合的となるか。
• RQ2 ユニタリ作用素が確率的かつ非決定的である場合、エルゴード性はどのように特徴づけられるか。
• RQ3 単位分解のカオス的表現性が混合性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ4 強混合性条件は、回転されたベクトルの内積に関する確率的収束条件に簡略化できるか。
• RQ5 ウィーナー空間上での強混合的確率的回転の明示的例は何か。

主な発見

• 確率的回転の列 (Tₙ) の強混合性の十分条件は、すべての h, k ∈ H に対して (Qₙh, k)ₕ が確率的にゼロに収束することである。
• 回転作用素が決定的である場合には、(Qₙh, k)ₕ → 0 が確率的に収束することは必要条件でもある。
• 例1では、単位的増分を持つ適応過程 Rₜ によって定義される連続時間の確率的回転が、2点関数 Aₛ,ₜⁿ の n 乗がほとんど確実にゼロに収束する場合、強混合的であることが示された。
• 例2では、独立したブラウン運動の符号関数によって定義される離散的確率的回転の列が、(Qₙh, k)ₕ が L² でゼロに収束するため、列は強混合的である。
• 本論文は、単位分解に関連する円柱マルティンガールのカオス的表現性が、混合性条件を導出する上で極めて重要であることを確立した。
• ユニタリ作用素 R(w) を通じてランダム性を組み込むことにより、非線形的かつ非ガウス的ダイナミクスをウィーナー経路に誘導する点で、古典的決定的回転のエルゴード性結果が一般化された。