[論文レビュー] Some Examples of Blackadar and Kirchberg's MF Algebras

Don Hadwin, Junhao Shen|ArXiv.org|Jun 28, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、MF代数の新しい例を、MF代数の最小および最大テンソル積および有限群または整数群による交叉積を用いて構成することによって、ブラックダーやキルヒベルクのMF代数を調査する。特定のテンソル積や交叉積、たとえば $ C_r^*(F_n) \times_\theta \bbZ $ および $ C_r^*(F_n) \otimes_{\text{max}} C^*(F_m) $ がMF代数であることを証明し、特にそれらのBDF拡張半群が群でないことを示しており、ハーガープとトールビョーンセンの $ C_r^*(F_n) $ に関する基礎的結果を拡張する。

ABSTRACT

In the paper, we provide some examples of MF algebras by considering minimal or maximal tensor products of MF algebras and crossed products of MF algebras by finite groups or an integer group. We also present some examples of C$^*$-algebras, whose BDF extension semigroup is not group. These examples include, for example, $ C_r^*(F_n)\otimes_{max} C^*(F_n) $, $ C_r^*(F_n)\otimes_{min} C^*(F_n) $, $C_r^*(H_1\ast H_2)$ with $2\le |H_1|

研究の動機と目的

• 基礎的例 $ C_r^*(F_n) $ を超えて、BDF拡張半群が群でないことが知られているC*-代数のクラスを拡張すること。
• MF代数のテンソル積および交叉積がMF性質を保存するかどうかを調査すること。
• MF性質のおかげでボイクレツクのトポロジカル自由エントロピー次元がwell-definedとなるC*-代数の新しい例を提供すること。
• $ \bbZ $ や有限群によるMF代数の交叉積がMF代数のままである条件を確立すること。
• MF代数の文脈でピムスナーとボイクレツクの結果を一般化すること。

提案手法

• MF代数を行列代数の超積への埋め込みとして定義することにより、テンソル積および交叉積のMF性質を検証する。
• フル交叉積の普遍性を応用して、$ \bbA \rtimes_\theta \bbZ $ から行列超積への$ * $-準同型を構成する。
• 非可換多項式のノルムが有限次元表現において小さな誤差の範囲で保存されることを、ノルム近似技術を用いて示す。
• すべての $ a \in \bbA $ に対して $ \norm{\alpha(n_j)a - a} \to 0 $ となるような $ n_j \to \bbN $ の列の存在を活用し、作用における漸近的不変性を保証する。
• ハーガープとトールビョーンセンによる $ C_r^*(F_n) $ がMF代数であること（基礎的事実）を基盤として、より複雑な例を構築する。
• テンソル積および交叉積に関する結果を組み合わせることで、BDF拡張半群が群でない新しい例を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのMF代数の最大テンソル積がMF代数である条件は何か？
• RQ2 2つのMF代数の最小テンソル積がMF代数である条件は何か、特に一方の因子が正確または準対角的である場合に。
• RQ3 MF代数の $ \bbZ $ や有限群による交叉積がMF代数である条件は何か？
• RQ4 $ C_r^*(F_n) $ を超えて、BDF拡張半群が群でないC*-代数は何か？
• RQ5 ユニタリ作用がほぼ周期的行動を示す場合に、交叉積構成におけるMF性質が保存されるか？

主な発見

• 任意の $ n \geq 2 $ に対して、$ \mathcal{B} $ が単位的分離可能なMF代数であれば、最大テンソル積 $ C^*(F_n) \otimes_{\text{max}} \mathcal{B} $ はMF代数である。
• 任意の $ \mathcal{A} $ が正確または準対角的で、$ \mathcal{B} $ が単位的分離可能なMF代数であれば、最小テンソル積 $ \mathcal{A} \otimes_{\text{min}} \mathcal{B} $ はMF代数である。
• 任意の $ \mathcal{A} $ が有限生成単位的MF代数で、$ \alpha $ が $ \bbZ $-作用であり、すべての $ a \in \mathcal{A} $ に対して $ \norm{\alpha(n_j)a - a} \to 0 $ となるような $ n_j \to \infty $ の列が存在するならば、交叉積 $ \mathcal{A} \rtimes_\alpha \bbZ $ はMF代数である。
• 任意の $ n, m \geq 2 $ に対して、BDF拡張半群 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(F_n) \otimes_{\text{max}} C^*(F_m)) $ は群でない。
• 任意の $ n \geq 2 $ および単位的分離可能なMF代数 $ \mathcal{B} $ に対して、BDF拡張半群 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(F_n) \otimes_{\text{min}} \mathcal{B}) $ は群でない。
• $ |H_1| \geq 2 $、$ |H_2| \geq 3 $、かつ $ H_1, H_2 $ が有限群であるような $ H = H_1 * H_2 $ に対して、BDF拡張半群 $ \operatorname{Ext}(C_r^*(H)) $ は群でない。